Caley-Klein-Hilbert's Metric

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Un tipo de geometría no euclidiana es conocida como Lobachevsky-Bolyai. Esta posee curvatura constante -1 y satisface 4 de los 5 postulados de Euclides. El quito postulado: Por un punto exterior (P) a una recta (r), se puede trazar una única paralela a la recta dada es falso pues siempre hay al menos dos rectas distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r. Esto tiene como consecuencia varias propiedades de la cuales las más destacables son:

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre menor a Pi (1).
2. Todos los triángulos que tienen los mismos ángulos tienen la misma área.
3. No existen triángulos semejantes en geometría hiperbólica.

Un ejemplo de esta geometría son las esferas espacio temporales del espacio de Minkowsky de signatura (-1,1). La geometría hiperbólica está muy estudiada en 2D pero desconocida en sus propiedades para 3D y el O(1,3).
Para 2D sobre el disco de Poincarè se puede definir la función distancia a (2). En función de esto las componentes del tensor métrico (simétrico) son las dadas en (3). Al existir tensor métrico la derivada covariante debe ser simétrica.