miércoles, julio 30, 2008

Un problema anti-intuitivo que no sé demostrar.

Este es un problema que no sé como demostrar el resultado que he visto en un programa de TV en la argentina llamado "alterados por pi".
El plateo es el siguiente: Tengo dos urnas que tienen capacidad ilimitada de almacenamiento de bolitas, en una hay un número infinito de bolitas numeradas en 1, 2, 3, 4, 5, .... en otra está vacía, y tengo un reloj que marca las 11hs. Tengo un lapso de tiempo de una hora para pasar las bolitas de una urna a la otra de la siguiente manera.

  1. A las 11hs saco la bolita enumerada con 1 a 10 y las coloco en la urna vacía, de estas saco la numero 1. Con lo cual habrá 9 bolitas.
  2. A las 11hs 30minutos saco otras 10 bolitas enumeradas de 11 a 20 y las coloco en la urna anterior y saco ahora la bolita 2; con lo cual en la urna están las bolitas enumeradas desde el 3 al 20.
  3. A las 11:45 saco 10 enumeradas de 21 a 30 y saco la 3.
  4. A las 11:52,5 saco 10 enumeradas de 31 a 40 y saco la 4.

es decir me aproximo a las 12 sacando en la mitad del tiempo restante 10 bolitas de la urna infinita, las coloco en la otra y saco de esa aquella numerada por el evento. En resumen

evento | Tiempo | Bolitas presente | bolitas extraídas
1............ 11hs ........... 2 a 10 ............ 1
2............ 11:30 .......... 3 a 20 ............ 1,2
3............ 11:45 .......... 4 a 30 ............ 1,2,3
4............ 11:52,5 ........ 5 a 40 ............ 1,2,3,4


Entonces el asegura que al llegar a las 12hs en número de bolitas que habrá en la urna que pretendo llenar es cero al igual que en la otra urna estando todas las bolitas afuera de ambas (un alef cero de bolitas).

Como puedo demostrar esta proposición????

3 comentarios:

Anónimo dijo...

-En mi opinión, no podés(algunas veces se puede, digamos mejor que no
debés) demostrar algo que no es...
-La proposición es falsa: uno saca de a 10 bolas de una urna, mete de
a 9 bolas en otra urna, y tira afuera de a una bola... en función de
tope(flanco), de un segmento temporal que tiende a cero.
VAS A TENER CERO BOLAS EN TU URNA ORIGINAL, ALEF 0 EN LA OTRA URNA,
Y ALEF 0 AFUERA DE LOS RECIPIENTES, CUANDO SEAN LAS 12 HORAS DEL
RELOJ.
Saludos.
Cristián Antiba...
P/d: copiado de mi respuesta a "Lista Docentes"(yo: único expulsado desde su creación).

Dementor dijo...

Bueno, como le contesté a una persona... también llego a esa misma conclusión (abajo) en si el problema me suena a un sofisma, de igual tenor al sofisma de Protágoras.
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En el evento n la cantidad de bolitas que tengo en la urna que estoy llenando es

B(n)=10*n-n=9*n

que cuando n-> infinito daría que la urna está llena y no vacía como se pretende demostrar... por otro lado las bolitas que tengo afuera sería

F(n)=n

que también tiende a infinito... ;) Entonces llegaría a la conclusión que si ambos son numerables tengo la misma cantidad de bolitas afuera que adentro de la urna...

Es decir en el tiempo anterior a las 12 en el evento n siempre tendré más bolitas dentro de la urna que estoy llenando afuera de ella de manera tal que siempre B(n)>F(n), en el límite habrá como máximo igual cantidad si lo pienso como una biyección entre B(n) y F(n), de manera similar a como se muestra que la cantidad de pares e impares son la misma...

Entonces cuando se vació?
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Dementor dijo...

Bueno, luego de tanto buscar he encoentrado la solución en:

http://www.suitcaseofdreams.net/Paradox_Infinity.htm

Que se la conoce como paradoja de Ross-Littlewood. Para demostrar que ambas urnas quedan vacias usa, o implicita, una inducción transfinita que usa la propiedad cardinal de los naturales... y no cae en la trampa del infinito que ocurre cuando se usa inducción matemática.