Electromagnetic field on manifolds

De blog2

Si se considera que la teoría electromagnética se hace en una variedad de Lorentz (pseudo-Riemann), entonces partiendo del campo potencial cuadrivectorial A, el cual es una 1-forma, se puede obtener el tensor de campo (1) por el uso de la derivada exterior de Cartan, donde está unívocamente definido salvo por un campo de derivadas (salvo por el gradiente de un potencial) (2). El lagrangiano del campo teniendo en cuenta los flujos de cuadricorrinte es (3), luego usando las ecuaciones de Euler-Lagrange antes enunciadas, resulta (4) o (5) en su forma intrínseca. Por otro lado de la propiedad de la derivada exterior (6) de una 1-forma, resulta la ecuación de compatibilidad complementaria (7) que junto con (4) son las ecuaciones de movimiento del campo buscado.
El tensor de energía impulso se lo calcula usando las expresiones antes vertidas. Lo que resulta en (8) y (9) es decir un tensor asociado al campo libre del vacío sin cargas y otro asociado a la interacción entre el campo y las partículas a través de las fuerzas de Lorentz (11). Cabe notar que el campo libre verifica el teorema de Poynting del campo libre, cuando la densidad de corriente en conductores vale cero.

Killing fields and constant movement

De blog2

En este post comentaré lo referente a las leyes de conservación, aquí aplicado a campos, pero extensible a formas y tensores. De (1) y (2) se pide la invariancia de la acción de Hamilto-Jacobi ante un grupo de translaciones 1-paramétricas definidas por el campo vectorial, esto indica que existe un campo invariante asociado con dicha invariancia, además se verifica (3) que es una condición muy conocida y citada en varios textos como condición de conservación, pero en realidad, se sabe que existe un campo dual de Killing que permite hallar la verdadera constante de movimiento (4), que a diferencia de la dinámica de partículas, es un campo cuya derivada covariante es cero (5), es decir invariante ante el transporte paralelo en dicho grupo 1-paramétrico.
Como contra-ejemplo pongo el campo electromagnético no libre, donde la divergencia de su tensor de energía impulso es no nulo.

Covariant formulation of Lagrange

De blog2

En esta entrega comento un breve resumen sobre la formulación Lagrange covariante en una variedad métrica de Lorentz. Como se aprecia en la figura (1) es la ecuación de Euler-Lagrange para campos sobre el fibrado tangente de la variedad. Esto puede extenderse sin problema a Tensores y Formas diferenciales sobre la variedad. Cabe destacar que las incógnita ahora son los campos y lo las trayectoria de partículas. El resultado son las ecuaciones que responden los campos para cada caso en particular.
En lugar de considerar la familia 1-paramétrica de campos, se considera la familia 1-paramétrica de métricas, es posible hallar el tensor de energía impulso asociado al campo en estudio como se aprecia en (2).

Lense-Thirring effect

De blog2

Partiendo de las ecuaciones gravito-magnéticas, y bajo condiciones de campo estacionario uno puede hallar de (1,4,5,6) las ecuaciones de campo para el caso de una masa esférica apreciable que rota sobre un cierto eje con momento angular L, el campo gravito-magnético reultante es (8). De las ecuaciones de la geodésica para campos débiles resulta las ecuaciones cinemáticas asociadas a una partícula de masa mucho menor a la masa de la fuente (9), donde se ve que el término de la fuerza es muy similar a la fuerza de Lorentz, pero a diferencia de esta aparece un factor 4 que indica que no es la misma fuerza. Por eso se la llama fuerza gravito-magnética.
Este efecto causa la precesión de giróscopo en satélites que órbita la tierra en un valor de -2,2x10^(-4) segundos/día o lo que equivale a 1grado cada 16000 años. Este efecto es más importante en el caso de estrellas masivas y galaxias a distancias lo suficientemente alejadas para considerar el rango de validez de las ecuaciones gravito-magnéticas.

Notes on Manifold 11, Einstein field Equations.

De blog2

Finalmente a modo de ejemplo aplico todo esto al tensor de Einstein asociado a una variedad de Lorentz, el cual cumple con la condición de compatibilidad de divergencia nula. Esta condición también la cumple el tensor de energía e impulso del universo, que no es más que el tensor de energía impulso de la materia más el del campo electromagnético. Esto muestra que de manera indirecta un campo EM fuerte puede causar una distorsión en el espacio tiempo a pesar de ser partículas no masivas.
Por otro lado las métricas solución de (c) no son únicas sino que difieren en una isometría cuando se le aplica las condiciones de contorno correspondientes. Al final enuncio el principio de equivalencia fuerte el cual tiene su correlato débil en el ascensor de Einstein.

Notes on Manifold 10, Riemann like Manifold (II)

De blog2

En esta entrega, enuncio de manera formal el mecanismo de subida y bajada de índices a través del tensor métrico compatible con la derivada covariante. Mecanismo usado en vectores y 1-formas que se puede extender a tensores en general. Por otro lado defino lo que se entiende como divergencia de un tensor que luego la usaré en un ejemplo aplicado a la relatividad general.

Notes on Manifold 9, Ricci's tensor and metric Riemann like Manifold

De blog2

En esta entrega hago un breve resumen del tensor de Ricci y variedades métricas pseudo Riemann. Cabe notar que g.2 se refiere a un diferencial de arco de curva, donde se hace uso de los pull-fower antes definido. Por otro lado (d) nos dice que la existéncia de la conexión de Levi-Civita no solo garantiza que sea la derivada covariante simétrico o sin torsión sino que existe una carta coordenada local euclídea según el teorema de Weyl.