sábado, agosto 02, 2008

La Paradoja de Ross-Littlewood

El planteo del problema es el siguiente (ver figura) o ver post anterior. Tengo dos urnas que tienen capacidad ilimitada de almacenamiento de bolitas, en una hay un número infinito (alef cero) de bolitas numeradas en 1, 2, 3, 4, 5, .... en otra está vacía, y tengo un reloj que marca las 11hs. Tengo un lapso de tiempo de una hora para pasar las bolitas de una urna a la otra de la siguiente manera.

  1. A las 11hs saco la bolita enumerada con 1 a 10 y las coloco en la urna vacía, de estas saco la numero 1. Con lo cual habrá 9 bolitas.
  2. A las 11hs 30minutos saco otras 10 bolitas enumeradas de 11 a 20 y las coloco en la urna anterior y saco ahora la bolita 2; con lo cual en la urna están las bolitas enumeradas desde el 3 al 20
  3. A las 11:45 saco 10 enumeradas de 21 a 30 y saco la 3
  4. A las 11:52,5 saco 10 enumeradas de 31 a 40 y saco la 4

Es decir me aproximo a las 12 sacando en la mitad del tiempo restante 10 bolitas de la urna infinita, las coloco en la otra y saco de esa aquella numerada por el evento. Entonces se asegura que al llegar a las 12hs en número de bolitas que habrá en la urna que pretendo llenar (F(N))es cero al igual que en la otra urna estando todas (un alef cero) las bolitas afuera de ambas.
Ahora bien si uno pretende demostrarlo por la propiedad ordinal de los números naturales (formula-1 de la figura), llegaría a un dilema donde no podría decidir si la urna está vacía o llena, pues la cantidad de bolitas que tengo dentro de la urna es siempre 9*N en cambio las que tengo afuera es N. Y si uno lo gráfica dará rectas que nunca se tocan. Pero por otro lado siempre habrá un momento que saque todas las 9*N bolitas que puse.
La solución a las paradojas del infinito es usar la propiedad cardinal de los naturales. En lugar de preocuparme por cuantas bolitas van quedando, asumo que quiero demostrar que está vacía la urna, por lo tanto de la formula-2 uno suma ceros infinita veces. Por otro lado enumero las bolitas y defino dos operaciones:
  • sumar = agregar bolitas a la urna
  • restar = sacar bolitas de la urna
Entonces esos ceros los puedo pensar como operaciones consecutivas de poner y sacar bolitas, formula-3 , como dichas operaciones son asociativas (no puedo conmuta sacar con poner, pero si poner entre bolitas y lo mismo que sacar), lo asocio de manera tal de obtener otro mecanismo equivalente, el dado por la formal-4 que representa al caso que se estaba planteando. Lego es trivial darse cuenta que la urna estará vacía cuando saque el alef-cero de bolitas de la urna llena.
Nota: Acá se pierde la noción de límite al infinito, pues esta usa la propiedad ordinal y como vimos se llega a una paradoja.

1 comentario:

Anónimo dijo...

Está todo mas que claro... el tema está en tener
un mecanismo de fuga, que a la larga te quita los Naturales... y como
metes Naturares, SIN IMPORTAR AL RITMO QUE LOS METAS terminas metiendo
Naturales y al "final" sacando Naturales... ASÍ QUE QUEDA VACÍA.
---También pensé en el fabricante de las bolitas, que es un tipo muy
jodido y que odia a Paenza y para cagarlo le puso número de serie a
las bolitas así: 1, -1, 2, -2, 3, -3... en lugar de numerarlas
tradicionalmente.
Como el infinto de los Enteros pesa igual que el infinito de los
Naturales, Paenza no se dió cuenta cuando fue a buscar la bolsa de
bolitas a la fábrica.
La sorpresa se la llevó a las 12 hs, cuando vió que en la segunda
urna había un Alef cero de bolitas, todas con numeración negativa.
Un abrazo.
Cristián Antiba.