Sagnac effect, rotating substrates and discontinuity of time (II)

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Acá hago una interpretación de lo que ocurre a las horarias de dos haces de luz que viajan en sentido contrario y se encuentran luego de haber dado una vuelta en una circunferencia de radio R. En el caso de no estar en movimiento, como se ve en la figura, los conos de luz convergen en un mismo instante, pero al girar con una velocidad W, los conos de luz rotan en el espacio tiempo causando que los mismos dejen de coincidir. Como consecuencia la forma de los conos de luz de un sustrato rotante (1) no es más que la de los conos de luz en cilíndricas pero rotada un ángulo cuya pendiente es proporcional a la aceleración de la gravedad. Para hallar esto basta rotar la cónica a un nuevo sistema de coordenadas (2) y hallar el ángulo en el cual esta se reduce a su forma canónica (3).
Esto pone de manifiesto que en un espacio tiempo acotado puede romperse la isotropía, como es este el caso, pues si bien no está acotado el eje temporal, si lo está el eje espacial que corresponde al ángulo. Pues hay que efectuar un módulo %pi para que tenga sentido.

Sagnac effect, rotating substrates and discontinuity of time

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El efecto Sagnac es un ejemplo de discontinuidad temporal debida a sustratos rotantes, como es el el caso de un sistema no inercial que rota. En dichos sistemas, debido a la rotación, se puede distinguir cuando uno está en un sistema acelerado por gravedad o acelerado por rotación. La paradoja que presenta es que si la velocidad de la luz es un invariante ante transformaciones de Lorentz (TL) un observador montado en el centro de un sistema rotante debería ver lo mismo que uno en el cual el sistema estuviese en reposo. Es decir si cuando el sistema no giraba dos haces de luz interferían de manera destructiva, estos debería interferir de manera similar para un observador adosado al disco que contiene los dos haces cuando estos rotan. Pero no ocurre así, el motivo radica en que no se puede hacer una TL pues el sistema rotante no es inercial. Por lo que se debe apelar a la relatividad general para solucionar la paradoja.
Esto también se observa en la tierra como sistema global, pues causa un error de 4700 nano segundos en los sistemas GPS que tiene una presición del nano segundo.

Equations of motion in General Relativity

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En este caso muestro una forma alternativa (sin ejemplos) de como hallar las ecuaciones de movimiento en RG, de una manera más mecánica, similar a como hace el Goldstein en su libro Mecánica Clásica o cualquier libro de mecánica racional. Aplico calculo variacional y ecuaciones de Euler-Lagrange . Para ello ya parto de la lagrangiana de una partícula libre (1) sometida a una métrica del espacio tiempo. Donde la cuadrivelocidad la calculo en función de un parámetro afín. Luego de platear que la acción de Haimlton sea estacionaria se halla las ecuaciones de Euler-Lagrange (2). Que resultan en las ecuaciones de movimiento para la partícula libre (3) (Nótese que es independiente de la masa inercial M propia). Para saber si este resultado es equivalente al que uno obtiene de la geometría diferencial, opera un poco más y halla la conocida ecuación de la geodésica (4). En el caso de ser una partícula cargada en presencia de un campo electromagnético externo, el lagrangiano tomará la forma (5), que repitiendo el procedimiento se encuentra (4'). Donde ahora las trayectorias dependen de la relación de dos invariante q y M.

Born-Cattaneo chart coordinates

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A diferencia de lo que sucede en relatividad restringida, en relatividad general los cambios de coordenadas pueden relacionar un observador no inercial con otro inercial, ó peor aún, violar la casualidad y la flecha del tiempo. Para evitar esto Born ideó un tipo de cambio coordenado que llamó localmente admisible. En este tipo de cambio de coordenado uno reemplaza el eje temporal por la horaria con lo cual se gana sencillez, si bien se está en un espacio donde el tiempo es curvo, esto permite ver como ocurren muchos procesos en cartas gravitantes visto por observadores no inerciales.

Universes with rotation, general theory of relativity

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Supongamos un disco que rota rígidamente con velocidad angular W, esta es tal que la velocidad tangencial en el borde del disco nunca supera la velocidad de la luz C (que por comodidad tomaré C=1). La métrica a la cual está sometido dicho dominio viene dada por (1) en coordenadas cilíndrica, cuyo tensor métrico en la carta local es (2). La signatura que se usa es (+1, -1, -1, -1). Una vez conocido dicho tensor métrico se puede calcular las geodésicas para el caso de partículas libres la cual viene dada por (3). Las conecciones afines nulas para la ecuación temporal y axial permite elegir la condiciones (4), donde en este caso el tiempo coordenado coincide con el tiempo propio. Luego opreando algebraicamente se reduce a dos ecuaciones no lineales (5) en las cuales se puede ver que existen dos cantidades de movimiento o constantes: A relacionada con la velocidad areolar inicial y B relacionada con la energía inicial.
En el caso que A=0 y B>0 (B<0 no tiene sentido ya que son cantidades siempre positivas por lo tanto las geodésicas son siempre abiertas) da como resultado radios que se van torciendo a medida que se alejan del centro del disco. Esto pone de manifiesto que en este tipo de universo la idea de rígido se pierde.

Schwarzschild metric and the problem of two bodies

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Aquí coloco como resolver el problema de los dos cuerpos donde uno es mucho mas masivo que el otro de manera que la masa conjugada sea la del cuerpo masivo y su centro de masa esté sobre este. Pero a diferencia de lo tradicional uso la isometría de Schwarzschild (1). Esta es la solución de la ecuación de Einsten para el caso de simetría esférica, con inversión temporal, es decir los efectos de rotación de la masa poco afectan a la órbita y se la puede suponer centrada en el centro de masa. Si bien esto se debería hacer según la isometría de Kerr para campos débiles acá uso el enfoque histórico para sacar la ecuación más general de las órbitas. Las órbitas son solución de la ecuación de la geodésica u horarias las cuales la parametrizo con el tiempo propio el cual es uno de los pocos invariantes de la relatividad general.
Cabe observar que (2) es la ecuación que contiene el efecto de la dilatación del tiempo en el observador ubicado en el flujo orbital respecto de otro alejado de él.
La condición de tomar theta=pi/2 (restrinjo a un folio de dos dimensiones) no es del todo satisfactoria y debe apelarse a la conservación del momento angular dado por el tensor de energía impulso para demostrarla.
Finalmente la ecuación de las órbitas es (7) la cual es una ecuación de Duffing. Esta tiene comportamientos que no aparecen en la teoría de Newton de la gravitación.