Notes on Manifold 7, Covariant derivative (2)

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En esta entrega está la última parte de lo referente a derivada covariante. Cabe destacar la importancia de la misma en la caracterización de transporte paralelo en curvas. Un claro ejemplo de ello es la aceleración centrípeta. También aparece la definición de geodésica determinada por la derivada.
La definición de Kozul puede extenderse a tensores (d) r-veces contravariantes y s-veces covariantes, dentro de los cuales están las formas diferenciales como tensores una vez covariantes.

Nota: x representa el producto tensorial en el fibrado tangente.

De la definición de torsión, el cual es un tensor a diferencia de la derivada covariante que no lo es, uno puede pedir que el fibrado no tenga torsión, en tales casos la derivada covariante es simétrica y por el teorema de Weyl uno puede encontrar una carta coordenada loca donde se anule los símbolos de Cristoffel de tal manera que en dicha carta sea un espacio euclideo. Esto tiene mucha importancia en relatividad general, pues esto justifica el ascensor de Einstein y la covariancia de los sistemas no gravitantes o de Minkowsky.

Notes on Manifold 6, Covariant derivative (1)

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En esta entrega defino derivada covariante como translación paralela isomorfa, esta definición si bien es gráfica para el uso intuitivo, es inútil para su uso operacional. Por eso hago uso de la definición de Kozul que es la usada en la actualidad. Así como la derivada covariante coordenada donde para una carta local, permite definir los símbolos de Cristoffel de segunda especie y su uso no intrínseco. Por otro lado esto permite definir el concepto de espacio localmente euclídeo en una variedad.

Notes on Manifold 5, Lie's derivative and Lie bracket

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En esta entrega hago mención a la Derivada de Lie para el caso de campos escalares, vectoriales (corchetes de Poisson) y formas diferenciales. Están en notación intrínseca, para llevarlo a una carta coordenada es cuestión de aplicar lo visto en las notas anteriores o preguntarmelo.
Nota: El espacio de todos los campos vectoriales sobre M forman un espacio vectorial lineal V(M) que dotado de los corchetes de Poisson definen un álgebra de Lie.

Maxwell like Gravitomagnetic Equations

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Las ecuaciones de campo de Einstein (1) junto con la condición de compatibilidad (2), permiten deducir un conjunto de ecuaciones similares a las ecuaciones de Maxwell pero para el campo de aceleración g. Si se supone que la distorsión de la métrica de Minkowsky debido a la presencia de materia es débil. Entonces se puede hacer un desarrollo en serie de primer orden del tensor métrico (3), donde eta es la métrica de plana con signatura (+1,-1,-1,-1). En función de esto se puede escribir el tensor de Ricci (4) y la curvatura escalar (5) en función del tensor métrico h. Luego por la definición del tensor G resulta la nueva condición de compatibilidad (7), la que da sentido al nuevo tensor de campo de curvatura k. El cual satisface una ecuación que permite reemplazar la ecuación no lineal (1) por otra lineal (8) donde T es el tensor de energía impulso de la materia y la radiación. Si se define los potenciales escalare gravitatorio y vectorial garvito-magnético (9) y (10) resulta el campo de aceleración de gravedad (9') y el vector gravito-magnético (10'). En función de estos campos se puede simplificar (8) cuando no hay presencia de radiación electromagnética en las ecuaciones (11,12,13,14). Las cuales se las conoce como ecuaciones de campo gravito-magnético. Las cuales son similares a las ecuaciones de Maxwell. Salvo por el hecho que en gravedad no existe la masa negativa.

Notes on Manifold 4, Tangent bundle and CoTangent bundle

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En esta entrega defino lo que es fibrado tangente y fibrado cotangente. Además del flujo de un campo vectorial, muy usado en sistemas dinámicos, relatividad especial y general, etc.

Notes on Manifold 3, cotangent vectors at manifold

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En esta entrega defino todo lo referentente a espacio cotangente a una variedad y la definición de pull-back, para luego definir lo que se entiende por uno forma diferencial.
Nota: el punto p que se hace referencia está sobre la carta coordenada.

Notes on Manifold 2, tangent vectors at manifold

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En esta entrega sobre variedades suaves, expongo sobre lo que es el espacio tangente a una variedad en un punto, el cambio coordenado y lo más importante el diferencial de una aplicación entre variedades o pull-fower. Este tiene una representación en los espacios coordenados locales asociados a cada carta del la variedad. En el futuro esto permitirá definir los conceptos de fibrado tangente y cotangente.

Notes on Manifold 1, basic concepts

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Estas son algunas definiciones básicas sobre teoría de variedades, hay que destacar que no existe un único atlas maximal en una variedad como se enuncia en (g). En general las variedades usadas en la teoría de la relatividad, espacio de las fases, etc. todas tiene un único atlas maximal. Y cumplen la condición impuesta o natural de ser suaves.

Magnetic field tensor and Maxwell's equations

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El vector inducción magnética B en si no es un vector sino un pseudo vector, de carácter similar al momento angular, el torque, etc. Este puede provenir de un tensor antisimétrico contraídos los índices usando el tensor de Levi-Civita (2). Donde se hecho uso de la convención de índices repetidos se suman de Einstein. Idéntica situación se puede formular para H, la intensidad de campo magnético. En función de esto se puede volver a escribir las ecuaciones de Maxwell que contemplen el carácter tensorial de los campos (3,4,5,6). Luego se puede simplificar la notación de la ecuación (6) a (7). Muy usada en relatividad. Esta forma de escribir las ecuaciones de Maxwell permite reducir el número de pasos para escribirlas en función del Tensor de Faraday covariante y su dual de campo.

Nature and Golden Number.

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La serie de Fibonacci (año 1202) proviene de resolver una ecuación recursiva (1) con condiciones iniciales muy particulares, como se ve en la figura. Si se cambia estas condiciones iniciales se obtiene la serie de Lucas (año 1850). La solución general de la serie viene dada por (2) donde apare un número irracional muy usado en varios campos de la arquitectura conocido como c o número aúrico en castellano. Dicho número es solución de (1) con A_0=1 B_0=0, si este fuera el radio de una espiral elíptica esta se vería en varias formas de la naturaleza, por ejemplo la flor y planta de la figura.

Møller's Paradox

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En lo personal no estoy seguro si esta paradoja se debe a Moller pero en base a esto permitió a Einstein formular una nueva visión de los sistemas acelerados y gravitantes. Consideremos un circulo el cual gira respecto de un eje con una cierta velocidad tangencial v_t, en el centro del círculo hay un observador en reposo con su sistema inercial newtoniano y otro en movimiento circular uniforme el cual está acelerado. Luego por la contracción de Fitzgeral-Lorentz (1) un diferencial del arco circulante ds se lo puede relacionar con su longitud propia dl. En cambio en la dirección radial no aparece el fenómeno de contracción pues solo hay velocidad tangencial, por lo tanto R=r para ambos sistemas. Finalmente el diferencial de ángulo para cada sistema vendrá dado por (2), luego integrando entre 0 y 2*Pi respecto del ángulo del sistema en reposo resulta (3), donde el ángulo subtendido (Sigma) por el sistema acelerado visto desde el reposo no es más 2*Pi sino que es menor debido a la contracción y más aún este valor es función de la velocidad tangencial. Por lo que hay que rellenar para terminar de formar el círculo dando que el ángulo del sistema acelerado respecto al de reposo sea mayor a 2*Pi. Es decir el sistema acelerado tiene geometría espacio tiempo hiperbólica.

Una fábula entre animales científicos

"El hombre necesita la verdad,
un mundo que no se contradiga,
que no falsee nada y que no cambie,
un mundo-verdad…"

Friederich Nietzsche

Cierto día el León y la Hiena (como representante de los dirigentes de la pradera) decidieron formar una comisión para organizar una exposición sobre el estado del arte del bosque. Para tal fin pidieron ayuda a otros animales de distinta especie, pasado un tiempo se presentaron la Zorra, El Burro, el Búfalo y el resto de animales uno por cada especie. El León y el Búfalo hace mucho tiempo habían trabajado en un evento anterior del mismo tipo con resultados satisfactorios hasta que el Búfalo debió emigrar; pero él y otro animal se encargaron de la difusión de dicho evento pasado.

En la primera reunión el Búfalo se propuso para repetir la tarea anterior, pero la Hiena, ávida de poder, lo descalificó públicamente y el León con más voluntad de poder que de justicia apoyó la descalificaciones de la Hiena, enfurecido el Búfalo se hace a un lado y la Hiena se propone para la tarea de difusión. Pasando el tiempo y reuniones los animales critican la forma en que la hiena desempeña su trabajo; esta responde con inusual ira ante cualquiera que se oponga con el silencio cómplice del León.

El Búfalo indignado y a pesar de él también cuestionado el trabajo de la Hiena, decide publicar su opinión en su árbol personal como una forma de protesta. Pasado el tiempo e ignorando la celada que están tramando el León y la Hiena con la complicidad del Burro y la Zorra, el Búfalo se olvida del asunto y más aún felicita a la Hiena por su trabajo. La Hiena astuta viendo la presión reinante decide cambiar la forma de difusión del evento, pero además quiere asestar un golpe maestro al Búfalo. Publicita las opiniones del búfalo entre los otros miembros de dirigentes de la pradera, en su mayoría Hienas. Estas se ponen de acuerdo para sancionar al búfalo con el destierro y le exigen al León que tome medidas para que el búfalo no pertenezca más a la comisión que él preside. El León por miedo a perder su postura de poder, confabula un acto cobarde: con la Hiena, la Zorra, y el Burro en próxima reunión solicitará que el Búfalo no forme parte de la comisión. A sabiendas que el resto de los animales consentirán con el silencio, ¿qué animal osaría desafiar a semejante alianza?

Cuando fue el día de la reunión la conversación era la siguiente:

León: Búfalo debemos de hablar.

Búfalo: por supuesto, ¿qué ocurre?

León: No sé que lío tenés con los dirigentes de la pradera, pero ellos protestaron sobre lo que escribiste en tu árbol personal sobre el trabajo de la Hiena.

León: Esas actitudes no se condicen con las actitudes que debería tomar un miembro de la comisión por lo que pido que te retires y no formes más parte de esta comisión.

El Búfalo reaccionó con ira y estupor con semejante actitud y se enfrenta con los dichos del León, a todo eso la Hiena introduce sus efectivas intrigas

Hiena: Y pensá que esto es lo más suave que te pudo haber ocurrido, las Hienas dirigentes de la pradera pidieron que el León te destierre como medida disciplinaria.

Búfalo: Pero si yo en un momento te felicité por tu trabajo

Hiena: Pero además descalificaste a los Gorilas, al León y a mí en otro post en tu árbol personal sobre el evento en el bosque. Yo no puedo confiar en alguien que dice una cosa y actúa escribiendo otra. (Dice la Hiena en un perfecto acto de hipocresía.)

Búfalo: Pero cuando escribí eso no formaba parte de la comisión, y era imposible hablar contigo sobre el desastre del evento del bosque. De última es una opinión personal sobre la opinión que muchos tienen de los eventos que organizan los Gorilas y callan por algún motivo.

Pasado 5 minutos de violenta conversación el Burro dice unas palabras.

Burro: Mirá no sé que problemas personales tengas con el León y la Hiena, pero yo leí lo que escribiste y me pareció agresivo.

Zorra: Yo también lo leí y me parece agresivo y acuerdo con la Hiena.

León: Para terminar el asunto, creo que todos están de acuerdo con que no formes parte de esta comisión así que te pido que no vengas más.

Hiena: Además yo no puedo confiar en darte una tarea, por lo tanto no tiene sentido que pertenezcas a esta comisión.

Zorra: En cierta medida todos los presentes somos culpable que sucediera esto.

El Búfalo se sintió triste ya que el resto de los animales se llenaban la boca de luchar contra el autoritarismo, ahora consentían con el silencio. Terminada la reunión el Búfalo se retira y le presenta la renuncia formal al León y le dice que se quede tranquilo que con su renuncia, su puesto está garantizado. El Búfalo en parte se sintió aliviado, ya que descubrió que con este tipo de animales no se puede trabajar.

Se dice de Usted...

Se dice de usted que su teoría de la relatividad es indigna para el pensamiento alemán. Con esta frase el físico Ernst Gehrcke y 20 miembros más de la academia nacional de ciencias alemanas (pro nazi) firmaron un petitorio público en 1922 contra de la teoría de la relatividad formulada por Einstein.

Llevado nuestros tiempos, me he enterado que personas anónimas de la División de Mecánica Estadística no Lineal y Sistemas Complejos han atentado de forma totalmente oculta en mi contra. Hasta el punto de hacer desaparecer el link al blog de la división en la página oficial de la AFA. Y difamar sobre mi persona para que desaparezca como miembro de la división basados en se dice de usted.

Esto me deja sorprendido, pues nunca he interactuado con nadie de la división, salvo en los congresos y he hecho del blog y página un medio de información válidos sin opiniones personales. Este medio lo mantengo por voluntad personal y sin esperar las gracias de nadie como una forma moderna de comunicación frente a las obsoletas de quienes atentaron contra mi integridad, todas basadas en el se dice de usted, sin pruebas ni conocimiento de mis acusadores.

Esto me deja sorprendido pues varios de ellos (que supongo quienes son) me han ofrecido organizar congresos en conjunto y hasta me han invitado a dar charlas, pero no! parece que la doble moral y la falsedad de lo que yo llamo como "conicetero" prevalece y hace de la ciencia argentina lo que es, una ciencia sin identidad y acoplada a los caprichos del imperio. Sumado al autoritarismo reinante de algunos miembros de la AFA dan un mal presagio a la ciencia argentina.

Como el blog de la división es mantenido por mi, seguirá siendo una vidriera de la disciplina, a pesar que algunos cobardes autoritarios intenten callarla.

Dos dilemas que mueven la mente.

1) Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir se enteró de la angustia de As-Samet el único barbero de un pueblo apartado...

En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

Como As-Samet resolvería su dilema?

2) Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas.

Como hizo el recepcionista para resolver el problema?

フォ−ムの使い方 (2)

「普通形」

普通形と　思います ------ ミラーさんは　もう　帰ったと　思います。
普通形と　言います ------ 兄は　１０時までに　帰ると　言いました。

「普通形でしょう？」

辞書形でしょう？ ------- 明日の　パーテイーに　行くでしょう？
イ−形容詞でしょう？ ------- 朝の　ラッシュは　すごいでしょう？
ナ−形容詞でしょう？ ------ パソコンは　便利ですしょう？
名詞でしょう？ ------ 彼は　アメリカ人でしょう？

動詞普通形　名詞 ----- これは　私が　作った　ケーキです。

「普通形とき、文」

辞書形とき、------ 新聞を　読むとき、眼鏡を　かけます。
イ−形容詞とき、------ 眠いとき、コーヒーを　飲みます。
ナ−形容詞なとき、----- 暇なとき、ビデオを　見ます。
名詞のとき、 ----- 雨のとき、タクシーに　乗ります。

普通形過去ら、文 ----- いい天気だったら、散歩します。
------ パソコンが　安かったら、買います。
------ パソコンが　あったら、便利です。

動詞て形も、文 ------ 辞書を　見ても、意味が　分かりません。
イ−形容詞くても、文 ----- パソコンが　安くでも、買いません。
ナ−形容詞でも、文 ----- 嫌いでも、食べなければ　なりません。
名詞でも、文 ----- 彼は　日曜日でも、働きます。