martes, octubre 19, 2010

Onda de acción y cuántica, 量子力学

Sea el lagrangiano (1) de una partícula masiva, luego el momento canónico conjugado vendrá dado por (2). En función de esto se puede hallar el hamiltoniano (3), el cual se supone independiente del tiempo (4), por lo que el sistema es autónomo. Bajo tales circunstancias el hamiltoniano es constante en la órbita y vale la energía mecánica total (5). Si se hace una transformación canónica (6)  a una nueva hamiltoniana, K=0, (7), resulta que ahora en el nuevo espacio de las fases el momento es la canónica conjugada de la coordenada generalizada (8). A (9) se lo conoce como ecuación de Hamilton-Jacoby, cuya solución es la acción hamiltoniana (10), donde los nuevos momentos P son las condiciones iniciales (11). Es fácil comprobar que además el hamiltoniano es ahora la canónica conjugada del tiempo en un espacio de las fases extendido (12). La acción cuando se verifica (4) es (13). S(q,t)=cte es similar a la ecuación de un frente de onda donde su vector de onda (14) no es otra cosa que el momento canónico. Luego de la teoría de ondas la velocidad de grupo es (14-bis) (segundo 14), si se compara este resultado con el caso de un fotón es sorprendente la coincidencia, pero acá no corresponde al caso de una partícula libre. La onda de acción es 15 que corresponde a una función de onda escalar donde tiene sentido su módulo al cuadrado que corresponde a la probabilidad condicional de hallar la partícula en un estado dado. 

Observación: No se debe confundir el momento canónico con el operador momento (16).

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