La braquistócrona y la curvatura del tiempo.

El problema de la braquistocrona es encontrar la curva sobre la cual el tiempo de caída entre dos puntos (1 y 2) sea el mínimo posible. El el caso de que no hubiera gravedad, dicha curva es la línea recta y coincide con la curva de menor distancia entre dos puntos, pero cuando hay gravedad no hay coincidencia. Esta falta de coincidencia es un indicativo de que el tiempo se ha curvado a causa de la presencia de un cuerpo masivo, como ser la Tierra. En el enlace:
https://sites.google.com/site/forodehoraciocastellini/fisica-basica/apuntes-de-clase/braquistocrona
hago una descripción de como calcular dicha curva por el método variacional clásico.

Onda de acción y cuántica, 量子力学

Sea el lagrangiano (1) de una partícula masiva, luego el momento canónico conjugado vendrá dado por (2). En función de esto se puede hallar el hamiltoniano (3), el cual se supone independiente del tiempo (4), por lo que el sistema es autónomo. Bajo tales circunstancias el hamiltoniano es constante en la órbita y vale la energía mecánica total (5). Si se hace una transformación canónica (6)  a una nueva hamiltoniana, K=0, (7), resulta que ahora en el nuevo espacio de las fases el momento es la canónica conjugada de la coordenada generalizada (8). A (9) se lo conoce como ecuación de Hamilton-Jacoby, cuya solución es la acción hamiltoniana (10), donde los nuevos momentos P son las condiciones iniciales (11). Es fácil comprobar que además el hamiltoniano es ahora la canónica conjugada del tiempo en un espacio de las fases extendido (12). La acción cuando se verifica (4) es (13). S(q,t)=cte es similar a la ecuación de un frente de onda donde su vector de onda (14) no es otra cosa que el momento canónico. Luego de la teoría de ondas la velocidad de grupo es (14-bis) (segundo 14), si se compara este resultado con el caso de un fotón es sorprendente la coincidencia, pero acá no corresponde al caso de una partícula libre. La onda de acción es 15 que corresponde a una función de onda escalar donde tiene sentido su módulo al cuadrado que corresponde a la probabilidad condicional de hallar la partícula en un estado dado. 

Observación: No se debe confundir el momento canónico con el operador momento (16).

The harmonic oscillator in Einstein's relativity

En la figura superior se puede ver como el hamiltoniano relativista (1) de una partícula genera curvas cerradas que corresponde a las oscilaciones donde la carta local es la cronológica sin curvatura causada por la materia. Para hallar como afecta esto en la frecuencia de oscilación haré uso de la teoría de Hamilton-Jacoby. Primeramente se despeja el momento generalizado (2) donde H_0 es el valor de la energía inicial. Para luego hallar la función principal de Hamilton (3) para encontrar la variable angular de acción (4). Acá se puede hacer dos aproximaciones dada la complejidad de la integral elíptica involucrada. Una es suponer una situación cuasi-relativista de tal manera de aproximar dicha integral por funciones gamma. Lo que resulta finalmente que la variable angular de acción es (5) función implícita del hamiltoniano, luego en función de esto se puede hallar la frecuencia angular (6) donde se aprecia que depende de la energía inicial. Además cuanto mayor sea esta tanto mas largo es el período, pero en el caso ultra relativista (7) toma un valor mínimo.

AFA 2010, si el 2008 era para olvidar esta le pega en el palo

Más allá de hermosos paisajes, turismo aventura y un centro científico de primera línea (Pierre Auger), esta reunión anual de la física argentina mostró ser tan mala en la organización como la realizada en el 2008. Primero: por la logística, llegar a Malargüe para los que no vivimos en Buenos Aires o en los entornos de la ciudad es de tremenda dificultad acceder, si uno reflexiona los porteños tiene muchas facilidades para llegar a cualquier congreso por avión, en cambio los de interior siempre existirá el congreso que resulte una odisea que se tarde en llegar 24hs. Segundo: la presentación de los posteres, como se ve en la figura no se alquiló paneles sino que se usó las redes del gimnasio y los tanques de medición, toda una filosofía de dejadez de cuarto mundo. Tercero: el nuevo formato del libro de resúmenes, donde ahora solo se publica los títulos de los trabajos y los autores. No como era antaño donde además se publicaba el resumen (por eso se llama libro de resúmenes y no libro de títulos) entonces si alguien no trae una notebook con lectora de CD no podría ver de que se trata la presentación, pero más aún leer desde un libro no es lo mismo que leer de una pantalla para aquellos que no asimilaron aún la nueva tecnología. Y ni contar otras situaciones de las cuales uno puede sospechar que los congresos, ahora que solo se subsidia a estudiantes dejando de lado a los investigadores que no pertenecen al CONICET (con lo cual los viáticos son costeados por sus sueldos), son eventos de ganancia recaudadora más que de oportunidad de encuentro de la ciencia argentina, etc. Sin ser localista, el congreso del 2009 hecho en Rosario fue por demás uno de los mejores congresos organizados a pesar de mis conflictos personales con dos de los organizadores que lo usan como trampolín político. O los congresos de Merlo 2006, Salta 2007, que fueron mejores que este y en aquellas épocas se pagaba no solo a estudiantes sino además a investigadores que no tenían subsidios y no pertenecían al CONICET. Ahora bien 700 inscriptos a 150$ por cada uno no habría posibilidad de hacer un congreso más decente?

Nota: Voy a interpretar como un acto de agresión cualquier intento por parte de alguien de la comisión directiva que pretenda que rectifique los dichos en este post, como me ocurrió en el 2009 bajo amenaza de expulsión de la asociación por criticar el evento de 2008 por este medio. Como las autoridades fueron re-electas pongo esto para que se tenga conocimiento para que se sepa como se actúa con quien piensa distinto.

Atrapado en San Rafael

Acá estoy atrapado en San Rafael, Mendoza con un viaje de ida por la empresa Chevalier queduró 13hs. Al llegar no he hallado pasaje a Malargue ya que todo estaba ocupado. Solo conseguí para las 17hs para llegar a las 20hs. Aparecieron todo tipo de buitres ofreciendo combis a 700$, taxis a 500$ si se juntan tantas personas y compradores de boletos mayoristas para revenderlos al triple o cuádruple de la cantidad. La verdad no sé a quién se le ocurrió hacer el congreso de la Asociación de Física de Rosario en dicha localidad remota, salvo a un conjunto de personas que han degradado la AFA a una reunión de estudiantes mochileros y poner la mayor parte de trabas a gente formada y de edad adulta que no pertenezca al CONICET.

Nota: Para los que no leen entre líneas con esto no quiero menospresiar a los estudiantes, sino, critico a la actual política de la comsión directiva.

Escape velocity in Special Relativity, 特殊相対性理論

En este post se analiza la velocidad de escape de un cuerpo masivo desde el punto de vista relativista en el espacio de Minkowski en un folio espacial donde se usa el tiempo cronológico y no el tiempo propio. Para ello se parte del lagrangiano relativista (1) de una partícula con masa propia (m_0) sometida a la acción de la gravedad de un cuerpo masivo con longitud gravitacional definida en un post anterior. De (1) se halla el hamiltoniano relativista (2) dicho hamiltoniano es independiente del tiempo por lo que no solo se conserva, sino que su valor vale la energía mecánica total del cuerpo. Como la lagrangiana no depende del ángulo (en coordenadas polares ya que se mueve en el plano eclíptico), entonces el momento canónico que es el momento areolar se conserva (3), luego se halla la velocidad radial (5) y de la condición que dicha velocidad se anula para distancias muy alejadas se encuentra el resultado que el hamiltoniano debe anularse en toda la órbita. De aplicar las condiciones iniciales se halla que el valor del módulo de la velocidad de escape es (6). Se puede verificar la coherencia a baja velocidad del resultado, pero a diferencia de lo que ocurre en la visión no relativista, la velocidad de escape es la de la luz en el caso que el radio del grave tienda a cero. Desde este punto de vista es coherente cuando se dice que la masa de un agujero negro se reduce a una singularidad donde ni la luz puede escapar.

Gravitational length

La longitud gravitacional es un término poco enunciado en relatividad y mecánica newtoniana. Se la define como (1) y ella está relacionada con la máxima velocidad de escape. La velocidad de escape desde un punto de vista no relativista viene dada por (2). Operando se la puede llevar a una forma más operacional (4).  Donde de las dos situaciones límites:

1. Es un casquete estático sin rotación
2. Es un casquete con la máxima velocidad tangencial en el ecuador

En el peor de los casos basta un radio del objeto masivo menor  a dos veces la longitud gravitacional para que la velocidad de escape sea mayor a la luz.