jueves, mayo 03, 2007

El ojo de Horus...


Aunque cueste creerlo este hojo está relacionado con la visión que tenían de las matemáticas los egipcios y los números racionales. En realidad de las relaciones que ellos consideraban perfectas. A lo que actualmente se lo conoce como fracciones egipcias.
Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos. Se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. Para demostrar que se puede expresar cualquier número, incluso los que son muy grandes, de esta forma, se puede consultar el artículo sobre la serie armónica.
Un algoritmo que produce la representación de número racional r = a/b entre 0 y 1 como fracción egipcia es el algoritmo voraz de James Joseph Sylvester, que consiste en:
Encontrar la fracción unitaria más ajustada a r pero menor que r. El denominador se puede hallar dividiendo b entre a, ignorando el resto y sumando 1. Si no hay resto, r es una fracción unitaria, así que ya no hay que seguir calculando. Restar la fracción unitaria de r y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como r.

Ejemplo: convertir 19/20 en fracción egipcia.
  • 20/19 = 1 con algún resto, así que la primera fracción unitaria es 1/2. 19/20 - 1/2 = 9/20.
  • 20/9 = 2 con algún resto, así que la segunda fracción unitaria es 1/3. 9/20 - 1/3 = 7/60
  • 60/7 = 8 con algún resto, así que la tercera fracción unitaria es 1/9. 7/60 - 1/9 = 1/180 que es otra fracción unitaria.

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