Loxodromas, cuando el rumbo es constante.

Sobre una superficie esférica se llama loxodroma a las curvas que cortan a los meridianos bajo un ángulo constante. Dicho de otro modo, son trayectorias a lo largo de las cuales no cambia la posición de las agujas de una brújula. Son las trayectorias más simples de seguir por aviones y barcos, por que su uso en la navación se remonta a tiempos modernos. Para explicar esto, haré uso del lenguaje latex muy usado en la escritura de textos científicos. Sea \lambda y \teta a la longitud y latitud de un punto de la tierra respecto del meridiano cero y el ecuador, respectivamente. Denotemos por \alpha el ángulo constante que forma la loxodroma con los meridianos, y sea \lambda_0 la longitud del punto de corte de la loxodroma con el ecuador. Entonces cada loxodroma está determinada por los valores \alpha y \lambda_0. Sea h(\teta) la función:

h(\teta)=ln(sec(\teta)+tg(\teta)).

Luego si \teta \in [-\pi/2, \pi/2] la ecuación de la loxodroma es:

\lambda=f(\teta)+\lambda_0.

donde f(\teta)=tg(\alpha) h(\teta). Esta es la ecuación buscada en coordenadas geográficas. Si R es el radio de la Tierra entonces la ecuación paramétrica de la curva es:

x=R cos(\teta) cos(f(\teta))
y=R cos(\teta) sen(f(\teta))
z=R sen9\teta)

En general, existen infinitas curvas loxodrómicas que unen dos puntos P y Q en una superficie esférica, pero solo una de ellas es la más corta. Las loxodromas se representan por lineas rectas en los mapas de Mercator de la Tierra.