Oblique shot in special relativity, 特殊相対性理論

Si bien existe mucha bibliografía sobre tiro oblicuo a modulo de gravedad constante a baja velocidad, muy poco se ha escrito sobre el tema cuando las velocidades son relativistas y la gravedad es lo suficientemente grande como para evitar que se escape. En este tipo de situaciones la trayectoria no es más una parábola sino un arco de hipérbola. Una forma sencilla de encarar el problema es partiendo de las ecuaciones dinámicas con masa relativista. Esto permite usar el tiempo cronológico como parámetro y no el tiempo propio. Resolviendo las ecuaciones dinámicas e imponiendo las condiciones iniciales para la velocidad se obtienen las constantes (1) que forman parte de las ecuaciones de la velocidad en coordenadas cartesianas (2). Cabe destacar que a alta velocidades la geometría del espacio de Minkowski no es válido el concepto de independencia de movimientos como ocurre en la vida cotidiana (3) pues la proyección de la velocidad en el eje x depende de la proyección de la velocidad en el eje y.  Se recupera lo ya conocido cuando las velocidades son bajas (4). Partiendo de condiciones nulas para la posición inicial se puede hallar el alcance (R) y la altura máxima (H) integrando (2) en el tiempo cronológico. Donde es simple mostrar que se recuperan los resultados clásico para bajas velocidades. 

Un estudio detallado se encuentra en el item "Tiro oblicuo en Relatividad Especial" en en wiki de apoyo.

The Fermi-Walker transported in E.R. 一般相対性理論

En el espacio de Minkowski un observador comovil con un sistema acelerado puede representarse como una rotación en dicho espacio, entonces la ecuación que rige el movimiento comovil vendría dada por (1). Donde la representación matricial del operador en una carta euclidea sería antisimétrica. Además dicho operdor no debe afectar a los vectores espaciales pues esto podría tener efecto de anticausalidad indeseables, esto se traduce por la condición (2). Una forma covariante de definir dicho operador es por el producto exterior (3'), que no debe confundirse con el producto vectorial. Entonces a dicho operador es el que se conoce como transporte de Fermi-Walker. Es fácil verificar que dicha definición devuleve el resultado deseado (4).

E.R. accelerated comoving system, 一般相対性理論

En este caso se analiza en el espacio de Minkowski como describir un sistema comovil con un sistema acelerado. Una forma de cambio coordenado es dado por (1), (2), (3), (4). El cuál cumple la condición de ortogonalidad. En el caso de un sistema comovil con un objeto en caída libre (movimiento hiperbólico), el cambio coordenado es el que se muestra en la parte inferior de la figura.

Hyperbolic motion in general relativity, 一般相対性理論

El movimiento hiperbólico aparece cuando se estudia el movimiento de un cuerpo sometido a fuerza constante, pero en el caso de un cuerpo libremente gravitante, corresponde al caso de caída libre. Aquí se resuelve el problema en el espacio de Minkowski. (1) y (2) son la propiedades de la cudri-velocidad y la cuadri-aceleración. Por otro lado (5) indica que la aceleración en módulo debe ser igual a la gravedad debido al principio de equivalencia débil entre la masa inercial y la gravitatória. Operando algebráicamente resulta el sistema de ecuaciones (6) y (7) cuya solución es (8) y (9). Se toma como condición inicial de que el tiempo propio coincida con el cronológico del sistema inercial. Luego para tener en cuenta que parte desde el origen y se lo deja caer se efectúa un conveniente cambio de variable, eliminando la parametrización queda (10), ó (11) que da la ecuación de movimiento. Cabe destacar que este resultado coincide con lo conocido para campos débiles (12).

Una explicación más detallada puede verse en la sección Movimiento Hiperbólico de mi wiki.

Sistemas inerciales, punto de vista amplio

En general se confunde como condición de necesidad y suficiencia que un sistema inercial es aquel que verifique las leyes de Newton. Pero esto dejaría afuera a los sistemas inerciales de la relatividad restringida y otros que pudieran aparecer. Para subsanar este inconveniente se propone la condición de suficiencia:

Sistema es inercial <= Verifica las leyes de Newton

Como se parecia en la figura esta condición permite restringir a un subconjunto K conocido como sistemas inerciales mecánicos. En dichos sistemas la transformaciones de Galileo (1) (donde V=cte) permiten verificar la invariancia de la aceleración para ambos sistemas de referencia O y O'. Junto con la invariancia de la masa (hipótesis Ad-Hoc) resulta en la invariancia de las leyes de Newton (2). (2) permite construir una relación de equivalencia entre sistemas dinámicos inerciales (3) de manera tal que K/R forman una partición de dicho conjunto.

Una versión extendida puede verse en el wiki: Sistemas Inerciales .

Cinemática en Curvas

ver: Cinemática en Curvas.


Donde hago una descripción del punto de vista intrínseco y extrínseco.

Parallel universes and wave equation

De blog2

En esta entrega hago un ejercicio mental de como sería un universo diferente al nuestro con sus propias leyes pero que verifique las mismas hipótesis que se le pide en relatividad restringida a las transformación de Lorentz y a la teoría de Eintein. Esto muestra que dichas condiciones son solo necesarias pero no suficientes para garantizar la unicidad de una teoría desde el punto de vista lógico. Más aún se pude crear una infinitud de universos paralelos al nuestro que verifique la invariancia de la velocidad de la luz ante observadores inerciales pero sin que esta sea la una velocidad límite. Y que además a velocidades bajas devuelvan la mecánica clásica que todos conocemos. Cada vez me convenzo más que la ciencia también hay un acto de fe.

Una deducción completa de estos resultados será publicada en Ecuación de onda y universos paralelos (seguir el link) en mi wiki.