Nuevo tipo de Spam me obliga a moderar comentarios.

Últimamente estoy sufriendo un nuevo tipo de spam generado por bots que divulgan propaganda como comentarios en los blogs. Esto me ha obligado a moderarlos para que no aparezcan comentarios como estos:

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o en idioma japonés...

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que no son emitidos por un residente en Japón sino en EEUU, o en China. La verdad nunca imaginé llegar a esto... pero si estos HDMP siguen deberé bloquear los comentarios por un tiempo hasta que los bots me borren de su lista. Es lamentable ya que siempre espero un feedback de mis lectores pero no tengo más remedio si estos spammer siguen molestando.

Felices Fiestas Geek.

Feliz Navidad y Prospero año nuevo al estilo Geek. Si bien este año no he podido superar o igualar los posteos en este blog. He mejorado mucho el nivel científicos de los mismos. Esperemos que esté equivocado el horóscopo en lo que a mi se refiere para el 2010. Y pueda seguir divulgando el conocimiento en sus mas variadas formas.

Saludos: Dr. Horacio Castellini

Compresor del aire acondicionado del Corsa, una estafa a la marca.

La pieza que se ve, es el regulador de presión de un compresor con menos de dos años de antigüedad de un auto Corsa modelo 1998. Dicho compresor fue instalado por un comercio sito en Buenos Aires y Amenabar de la ciudad de Rosario, donde recindo. Lo más interesante de todo es que para colocar el compresor más el equipo de aire (original de procendencia Francia) me cobraron 3400$. Pero he mi sorpresa que al cabo de 2 años de uso se ropiera el compresor, consultando en varios talleres importantes todo querían cambiar el compresor y cobrarme 3000$, si ni siquiera atinar a repararlo. Finalmente fui al taller que me lo instaló (ubicado en la calle Amenabar de la ciudad de Rosario, Argentina) con idéntico diagnostico, pero luego de refrendarle varias veces la estafa que es instalar algo de tan mala calidad, accedieron a repararlo de muy mala gana. Para luego darse cuenta que el problema era una tontería, fallaba un regulador de presión cuyo costo es de 60$, aún así me cobraron sus buenos 650$.
Esto me deja el prejuicio que todos los talleres de esta put* cuidad, citando a Fito Paez, son unos ladrones, estafadores y vagos. Lo único que buscan es la guita fácil.

Sagnac effect, rotating substrates and discontinuity of time (II)

De blog2

Acá hago una interpretación de lo que ocurre a las horarias de dos haces de luz que viajan en sentido contrario y se encuentran luego de haber dado una vuelta en una circunferencia de radio R. En el caso de no estar en movimiento, como se ve en la figura, los conos de luz convergen en un mismo instante, pero al girar con una velocidad W, los conos de luz rotan en el espacio tiempo causando que los mismos dejen de coincidir. Como consecuencia la forma de los conos de luz de un sustrato rotante (1) no es más que la de los conos de luz en cilíndricas pero rotada un ángulo cuya pendiente es proporcional a la aceleración de la gravedad. Para hallar esto basta rotar la cónica a un nuevo sistema de coordenadas (2) y hallar el ángulo en el cual esta se reduce a su forma canónica (3).
Esto pone de manifiesto que en un espacio tiempo acotado puede romperse la isotropía, como es este el caso, pues si bien no está acotado el eje temporal, si lo está el eje espacial que corresponde al ángulo. Pues hay que efectuar un módulo %pi para que tenga sentido.

Sagnac effect, rotating substrates and discontinuity of time

De blog2

El efecto Sagnac es un ejemplo de discontinuidad temporal debida a sustratos rotantes, como es el el caso de un sistema no inercial que rota. En dichos sistemas, debido a la rotación, se puede distinguir cuando uno está en un sistema acelerado por gravedad o acelerado por rotación. La paradoja que presenta es que si la velocidad de la luz es un invariante ante transformaciones de Lorentz (TL) un observador montado en el centro de un sistema rotante debería ver lo mismo que uno en el cual el sistema estuviese en reposo. Es decir si cuando el sistema no giraba dos haces de luz interferían de manera destructiva, estos debería interferir de manera similar para un observador adosado al disco que contiene los dos haces cuando estos rotan. Pero no ocurre así, el motivo radica en que no se puede hacer una TL pues el sistema rotante no es inercial. Por lo que se debe apelar a la relatividad general para solucionar la paradoja.
Esto también se observa en la tierra como sistema global, pues causa un error de 4700 nano segundos en los sistemas GPS que tiene una presición del nano segundo.

Equations of motion in General Relativity

De blog2

En este caso muestro una forma alternativa (sin ejemplos) de como hallar las ecuaciones de movimiento en RG, de una manera más mecánica, similar a como hace el Goldstein en su libro Mecánica Clásica o cualquier libro de mecánica racional. Aplico calculo variacional y ecuaciones de Euler-Lagrange . Para ello ya parto de la lagrangiana de una partícula libre (1) sometida a una métrica del espacio tiempo. Donde la cuadrivelocidad la calculo en función de un parámetro afín. Luego de platear que la acción de Haimlton sea estacionaria se halla las ecuaciones de Euler-Lagrange (2). Que resultan en las ecuaciones de movimiento para la partícula libre (3) (Nótese que es independiente de la masa inercial M propia). Para saber si este resultado es equivalente al que uno obtiene de la geometría diferencial, opera un poco más y halla la conocida ecuación de la geodésica (4). En el caso de ser una partícula cargada en presencia de un campo electromagnético externo, el lagrangiano tomará la forma (5), que repitiendo el procedimiento se encuentra (4'). Donde ahora las trayectorias dependen de la relación de dos invariante q y M.

Born-Cattaneo chart coordinates

De blog2

A diferencia de lo que sucede en relatividad restringida, en relatividad general los cambios de coordenadas pueden relacionar un observador no inercial con otro inercial, ó peor aún, violar la casualidad y la flecha del tiempo. Para evitar esto Born ideó un tipo de cambio coordenado que llamó localmente admisible. En este tipo de cambio de coordenado uno reemplaza el eje temporal por la horaria con lo cual se gana sencillez, si bien se está en un espacio donde el tiempo es curvo, esto permite ver como ocurren muchos procesos en cartas gravitantes visto por observadores no inerciales.

Universes with rotation, general theory of relativity

De blog2

Supongamos un disco que rota rígidamente con velocidad angular W, esta es tal que la velocidad tangencial en el borde del disco nunca supera la velocidad de la luz C (que por comodidad tomaré C=1). La métrica a la cual está sometido dicho dominio viene dada por (1) en coordenadas cilíndrica, cuyo tensor métrico en la carta local es (2). La signatura que se usa es (+1, -1, -1, -1). Una vez conocido dicho tensor métrico se puede calcular las geodésicas para el caso de partículas libres la cual viene dada por (3). Las conecciones afines nulas para la ecuación temporal y axial permite elegir la condiciones (4), donde en este caso el tiempo coordenado coincide con el tiempo propio. Luego opreando algebraicamente se reduce a dos ecuaciones no lineales (5) en las cuales se puede ver que existen dos cantidades de movimiento o constantes: A relacionada con la velocidad areolar inicial y B relacionada con la energía inicial.
En el caso que A=0 y B>0 (B<0 no tiene sentido ya que son cantidades siempre positivas por lo tanto las geodésicas son siempre abiertas) da como resultado radios que se van torciendo a medida que se alejan del centro del disco. Esto pone de manifiesto que en este tipo de universo la idea de rígido se pierde.

Schwarzschild metric and the problem of two bodies

De blog2

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Aquí coloco como resolver el problema de los dos cuerpos donde uno es mucho mas masivo que el otro de manera que la masa conjugada sea la del cuerpo masivo y su centro de masa esté sobre este. Pero a diferencia de lo tradicional uso la isometría de Schwarzschild (1). Esta es la solución de la ecuación de Einsten para el caso de simetría esférica, con inversión temporal, es decir los efectos de rotación de la masa poco afectan a la órbita y se la puede suponer centrada en el centro de masa. Si bien esto se debería hacer según la isometría de Kerr para campos débiles acá uso el enfoque histórico para sacar la ecuación más general de las órbitas. Las órbitas son solución de la ecuación de la geodésica u horarias las cuales la parametrizo con el tiempo propio el cual es uno de los pocos invariantes de la relatividad general.
Cabe observar que (2) es la ecuación que contiene el efecto de la dilatación del tiempo en el observador ubicado en el flujo orbital respecto de otro alejado de él.
La condición de tomar theta=pi/2 (restrinjo a un folio de dos dimensiones) no es del todo satisfactoria y debe apelarse a la conservación del momento angular dado por el tensor de energía impulso para demostrarla.
Finalmente la ecuación de las órbitas es (7) la cual es una ecuación de Duffing. Esta tiene comportamientos que no aparecen en la teoría de Newton de la gravitación.

Lie derivatives of tensor fields, Killing Fields III

De blog2

Isometric, homogeneity and isotropy Killing Fields II

De blog2

Standard length in the theory of general relativity

De blog2

Ahora me enfoco en el tema de longitud estándar entre sucesos simultáneos, este concepto está relacionado con la medida de longitudes y distancias. Estas medidas en la cosmovisión humana se deben realizar de manera simultánea, pero como garantizar que dos sucesos sean simultáneos cuando las horarias están curvadas? Bueno en (1) se da la respuesta, ya que A y A' son sucesos simultáneos, para conseguir A' se debe apelar al único absoluto la velocidad de la luz en el vacío, en función de esta se encuentran los sucesos A'' (pasado) y A''' (futuro) medidos con dos haces de luz, luego se puede definir como longitud estándar a (2) en la cual se tiene en cuenta la semidiferencia de trayectos (C=1 por eso no aparece) luminosos, operando se llega a algo más operacional (3) donde se supone conocido el tensor métrico resultante de resolver la ecuación de Einsten. En el caso de espacio semiplano (con tiempo curvado por la gravedad débil como ocurre en la superficie de la tierra) se obtiene el resultado conocido de la relatividad restringida (5).

Standard Time in general relativity

De blog2

En esta entrega divulgo sobre un concepto bastante útil el tiempo estándar en distintas horarias de una variedad (M,g) Lorentziana. En este caso el presente se encuentra en un folio F3 de una carta local que es cruzado por dos horarias, para que existe relación causal todos los sucesos A, B, y C se hallan dentro del cono de luz de A. El suceso AB (1) como se halla dentro de la misma horaria permite definir el tiempo propio (2) como es bien conocido en relatividad restringida, pero en este caso en lugar de usar el tensor de Minkowsky se usa el métrico para tener en cuenta que la materia curva la horaria. En cambio en el caso del suceso AC (2) uno ya no puede definir tiempo propio, entonces aprovechando el vector tangente a la horaria que no es otra cosa que la cuadrivelocidad, calcula la proyección de AC sobre la cuadrivelocidad (4) y (5). Y define como tiempo estándar al módulo de dicho vector proyectado (3).
Cabe observar que (3) coincide con (2) si C está en la misma horaria.

Diagrama universal para resolver problemas

No necesita explicaiones :)

Velocidad de escape cuando se tiene en cuenta la rotación

De blog2

En muchos textos de física básica se trata el tema de la velocidad de escape de un cuerpo gravitante, pero en ninguno se tiene en cuenta la rotación de este. Acá hago una deducción de la velocidad de escape cuando este está en rotación sobre su eje, como en el caso particular de la tierra. Primero parto de la definición de la aceleración en coordenadas intrínsecas (1). La componente tangencial de esta es nula pues su velocidad areolar (2) debe permanecer constante al ser un movimiento sometido a fuerzas centrales (como es el caso de la gravedad). Por medio de la segunda ley de Newton, se obtiene la ecuación (4) cuya integración es (5) y (6). Esta permite dar la velocidad radial en cualquier punto de la trayectoria, siempre y cuando el proyectil se haya lanzado en sentido de la normal a la superficie terrestre. Finalmente usando la condición asintótica se obtiene la formula buscada (7). El valor máximo se encuentra en los ejes de rotación que en el caso de la tierra vale 11,6 km/seg. ó 41760 km/hora. Una bestialidad teniendo en cuenta el valor de la velocidad límite.

La Duda...?

No sé lo que está bien ni lo que está mal, lo que está permitido y lo que está prohibido, no puedo alabar ni condenar. En este mundo es imposible tener un criterio, un principio coherente. Me sorprende que hayan personas que busquen una teoría del ser. Si he de ser sincero me importa un bledo la relatividad de nuestro saber, ¿este mundo consciente merece ser conocido? Algunas veces tengo la impresión que existe un paradigma integral que agota todo el saber, y otras veces no entiendo nada de lo que sucede a mi alrededor. Siento una especie de gusto acre, una amargura diabólica y bestial que incluso el problema del "das-in" parece insulso. Me doy cuenta por primara vez lo difícil que es definir esa amargura; quizá sea también porque pierdo el tiempo buscando el origen de un orden teórico, cuando en realidad procede de un estado eminentemente pre-teórico.
En este momento descreo de muchas cosas y tengo tan pocas esperanzas. Todo lo que nos atrae y seduce en la vida me parece vacío de sentido. No tengo ni el sentimiento del pasado, ni el del futuro, el presente parece un veneno. No sé si estoy desesperado, pues la ausencia de esperanza, no equivale a desesperación. Ningún calificativo podría afectarme, ¿pues tengo algo que perder? Y pensar que he perdido muchas cosas en el momento en que mi alrededor se despierta a la vida...
¡¡Que lejos me hallo!!

Porque no asistí a la AFA 2009 viviendo en Rosario.

De División de Mecánica Estadística no Lineal y Sist. Comp.

No habrá jamás igualdad mientras
que alguien se sienta inferior o
superior a los demás. Entre iguales
no debe existir la condescendencia
Mahatma Gandhi.

Desde el 14 al 18 de septiembre de 2009 se realizó la 94º reunión de la Asociación Física Argentina en la ciudad de Rosario. Si bien presenté un trabajo para dicho congreso en la modalidad póster, he decidido no asistir. Los motivos son varios, entre ellos debo enumerar la celada que he sufrido por parte de la "comisión" (cuando hablo de la "comisión" me refiero a algunos famosos integrantes de la comisión organizadora que pertenezcan a la licenciatura e ingenierías como docentes pues los alumnos y restantes están pintados, actúan más como actores funcionales) donde al mejor estilo de una traición armaron una farsa para sacarme de la organización del evento. No tengo ánimo de ver y entablar discusión con personas exitosas en el ámbito académico vernáculo especializados en invertir la carga de la prueba. Donde el acusador pasa a ser acusado por giros retóricos. Sentir la sensación de presencia de personas que me han endemoniado gratuitamente por no estar en el sistema y que me han cagado a mis espaldas. Que se venden como progresistas pero son tan dañinos como sus predecesores, que se confabulan entre ellos para repartirse la torta que es la dirección del departamento, los subsidios, etc. con la apatía y conformismo del resto. Escuchar sus absurdos discursos de "como llegaron a tener éxito en la ciencia" a sus alumnos, cuando en realidad son tan mediocres que solo vociferan sus laureles en la Argentina, pero en el exterior ni los perros los conocen. Y otros que vivieron a la sombra de sus predecesores pero que sin ellos no encuentran un lugar en el mundo, o bueno, buscan estar a la sombra de otro, pues ellos nunca brillaran con luz propia.

Muy probablemente estos personajes aprovechen el congreso como vidriera para lavar su imagen, adquirir fama y falso prestigio entre sus pares. Pares, que son verdaderos pares, pues estos harían y hacen lo mismo con un congreso que ya ha perdido el rumbo de sus fundadores con generaciones de perdedores resultantes de la decidía de un vaivén de fuertes gobiernos de facto y debiles gobiernos democráticos, que, tanto han castigado la ciencia Argentina, de lo cual deja como resultado esta generación altanera.
Tal vez mi gran esperanza es volver a proponerme como colaborador en el 2018 o 2019, cuando estos sátrapas hayan desaparecido y una nueva generación más honesta tome las riendas, pero dada la persistencia que tienen desde el 2001, a veces uno se decepciona. Quien hubiera pensado que un representante local durase más de 10 años cuando lo normal son 5 años? Eso muestra cuan atados a la silla del poder están.

The Gromov-Hasudorff distance and shape analysis

De blog2

Uno de los desafíos de la computación visual y análisis de formas es el reconocimiento de objetos. Esto es muy difícil distinguir cuando miles de imágenes pertenecen a un mismo objeto, como se aprecia en la figura-1, un mismo objeto (la mujer) puede tener un sin número de variantes (posiciones yogas) y siempre se refieren al mismo objeto. Uno de los intentos fue apelar a la topología y especialmente a la distancia de Hausdorff (3) entre conjuntos de abiertos pertenecientes a una topología inducida por la imagen. El principal problema de este intento es la complejidad computacional que representa armar un código de reconocimiento de imágenes usando esta distancia.
Una de las alternativas más exitosas fue la extensión formal hecha por Mikhail Gromov (4) o en su forma equivalente (4.1), pues él se dio cuenta que toda variante de un mismo objeto era una isometría de conjunto entre geodésicas.
Los resultados mejoran mucho si se usa la distancia difusa (5) entre variantes de un mismo objeto para usar como función distancia en (4.1) a la hora de definir la distancia de Gromov-Hausdorff. Con esta variante se si bien se elimina el determinismo en los análisis da algo más próximo a la visión humana, pues nuestro cerebro iluciona certezas de estimadores de imágenes.

Tallis' statistical mechanics and thermodynamics

De blog2

En esta entrega coloco una de las termodinámicas más exitosas como reemplazo de la formulada por Boltzmann y corresponde a la termodinámica de Tsallis. Ambas parten de una definición microscópica de entropía, la cual se extrema sujeta a condiciones o vínculos por medio de la técnica de los multiplicadores de Langrange. En 1,2,3 se puede ver un ejemplo de parámetros macroscópicos obtenidos al usar la función de partición Z_q. Tsallis elaboró una simplificación de notación al inventar el ln_q(), esto permite una forma más práctica de generar extensiones formales a su formulación a partir de la termodinámica de Boltzmann.

Tsallis and Shannon entropy

De blog2

En este post hablo sobre el concepto de entropía. Desde un punto de vista formal que cosa podemos llamar entropía? Que debe cumplir? Bueno las condiciones mínimas de suficiencia formuladas por varios autores en el tema viene dada por los ítem 1 a 3. Esto permitió descartar varios intentos de extender la formulación de entropía hecha por Boltzman, entre la cual aparece una definición muy conocidos en teoría de fractales como lo es la entropía de Renyi. En cambio las definiciones de Shannon, Tsallis y Kolmogorov pueden llamarse entropías. Este no es un resultado menor ya que las teorías termodinámicas asociadas son diferentes aunque convergentes todas a los mismos casos extremos.
Nota: {p_i} representa a distribución de probabilidades asociada a un sigma álgebra {A_i}.

Jackson's q-derivative and quantum derivative

De blog2

La derivada de Jackson (1) fue formulada en 1909 para ser aplicada en matemática finita. Luego se pudo hacer una extensión formal para ser usada en cuántica especialmente en situaciones donde el continuo es de dudosa validez y se toma como unidades básicas la distancia de Plank, el tiempo de Plank, etc. Este converge a la derivada clásica cuando h tiende a cero (aproximación clásica). Otro uso es en la entropía de Tsallis (3), una extensión formal de la entropía de Shannon para termodinámicas no extensivas.

Argentine Sciences, land of Confusion

Inspirado en el cover del tema de Génesis conocido como land of confusion por parte del conjunto Disturbed, donde en primer plano aparece the guy o el muchacho emblema de lucha contra el neo capitalismo y la hipocresía. No pude resistirme a colocar las letras que bien puede entablar un paralelo con lo que ocurre actualmente en la tierra de confusión que es la ciencia argentina. Acá coloco las letras en idioma castellano corregida y adaptada, u poco diferente en si a todas las traducciones que pululan por la red. Las letras incitan a que las nuevas generaciones hagan el cambio para mejor y no se conformen con la idea burguesa de más de lo mismo. Cualquier parecido con la realidad es pura coincidencia.

HE ESTADO SOÑANDO CIENTOS DE SUEÑOS,
HE ESTADO OBSESIONADO POR MILLONES DE GRITOS
PERO PUEDO OÍR LOS PIES MARCHAR,
SE MUEVEN EN LA CALLE
AHORA, HAS LEÍDO EL PERIÓDICO,
DICEN QUE EL PELIGRO SE HA MARCHADO LEJOS
PERO PUEDO VER QUE EL FUEGO SIGUE ENCENDIDO,
EL QUEMA EN LA NOCHE

HAY DEMASIADOS HOMBRES, DEMASIADA GENTE,
METIÉNDOSE EN DEMASIADOS PROBLEMAS
Y NO HAY DEMASIADO AMOR AL REDEDOR,
NO PUEDES VER QUE ESTA ES LA TIERRA DE LA CONFUSIÓN
ESTE ES EL MUNDO EN EL QUE VIVIMOS
Y ESTAS SON LAS MANOS QUE DAMOS
ÚSALAS ENTONCES Y EMPIEZA A INTENTAR
HACER UN LUGAR PRECIOSO EN DONDE VIVIR

SUPERMAN, ¿DÓNDE ESTAS AHORA?
CUANDO TODO VA MAL
EL HOMBRE DE ACERO,
EL HOMBRE DEL PODER
CON LAS HORAS ESTÁS PERDIENDO EL CONTROL

ESTE ES EL MOMENTO, ESTE ES EL LUGAR,
ASÍ QUE BUSQUEMOS EL FUTURO
PERO NO HAY DEMASIADO AMOR AL REDEDOR,
DIME POR QUÉ ESTA ES LA TIERRA DE LA CONFUSIÓN
ESTE ES EL MUNDO EN EL QUE VIVIMOS
Y ESTAS SON LAS MANOS QUE BRINDAMOS
USÉMOSLAS Y EMPECEMOS A INTENTAR
CONSTRUIR UN LUGAR VALIOSOS EN DONDE VIVIR

RECUERDO QUE HACE UN TIEMPO,
CUANDO EL SOL BRILLABA
SI, Y LAS ESTRELLAS DESTELLABAN
TODA LA NOCHE
Y EL SONIDO DE SUS RISAS
MIENTRAS QUE TE ABRAZABAN FUERTEMENTE,
HACE TANTO

NO VOLVERÉ A CASA ESTA NOCHE,
MI GENERACIÓN SE REIVINDICARÁ
NO HAREMOS SOLO PROMESAS,
LO QUE SABEMOS, NUNCA LO SEGUIREMOS

MUCHOS HOMBRES, MUCHA GENTE,
METIÉNDOSE EN MUCHOS PROBLEMAS
Y NO HAY DEMASIADO AMOR AL REDEDOR,
DIME POR QUÉ ESTA ES LA TIERRA DE LA CONFUSIÓN
AHORA ESTE ES EL MUNDO EN EL QUE VIVIMOS
Y ESTAS SON LAS MANOS QUE DAMOS
ÚSALAS ENTONCES Y EMPIEZA A INTENTAR
HACER UN LUGAR PRECIOSO POR EL QUE LUCHAR
ESTE ES EL MUNDO EN EL QUE VIVIMOS
Y ESTE ES EL NOMBRE QUE LE DAMOS
PÁRATE Y EMPIEZA A ENSEÑAR
A DONDE NUESTRAS VIDAS VAN .

Dynamical systems (VII), structural stability

De blog2

En esta última entrega hablo sobre estabilidad estructural desde un punto de vista más formal que muchos libros. La conjugacidad permite hacer una partición de todos los posibles sistemas dinámicos generados por la variación de un parámetro. Su aplicación práctica es muy difundida.

Notes on Minkowski's space

De blog2

Aquí comento sobre el espacio de Minkowski y su aplicación el física. Especialmente en mecánica relativista de partículas. Todo esto está en un espacio donde vale la geometría Euclídea. Cabe observar las dos propiedades (2.c) y (2.m) que indican el cararcter espcial que tiene la cuadrivelocidad y el cuadrimomento. Es decir en el espacio de Minkowski una partícula se mueve siempre en una esfera de 4 dimensiones (desde el punto de las velocidades), cuya proyección es la trayectoria que vemos en nuestra realidad. Este comportamiento causa la aparición de una ley de conservación intrínseca definida en (4).

Dynamical systems (VI) Lyapunov Function

De blog2

En esta entrega hablo sobre la función de Lyapunov usada tanto en los fenómenos expansivos o decidibles como en la estabilidad local de sistemas dinámicos continuos. Sobre estabilidad hay mucho escrito pero respecto del concepto de decibilidad de un sistema dinámico poco y nada. Esto puede dar una pauta de cuando un sistema deja de ser algorítmico para ser decidible por exclusión en este caso.

Dynamical systems (V) chaotic phenomena

De blog2

En esta dirijo la divulgación a lo que se entiende por caos desde un punto de vista cuantitativo mas que cualitativo. Este teorema define una condición de suficiencia pero no necesaria para la existencia de fenómenos caóticos. Un hecho importante es que estos fenómenos no pueden ser computables por ser mixing. Entonces el que decide en este caso es el hombre. Otro detalle que se desprende de (s.5) es que estos fenómenos son recurrentes según Poincaré.

Dynamical systems (IV)

De blog2

En esta entrega sigo con el tema de estabilidad pero desde un punto de vista general en un espacio métrico con signatura positiva, de manera tal que la definición de norma (7) tenga sentido usual y no aparezca vectores no nulos con norma cero. Cabe destacar que el párrafo 6 se lo puede relacionar con lo enunciado en el anterior post sobre la función de Morse. Pues la estabilidad de la solución lineal está relacionado con el carácter de la función de Morse. Es decir si todos los autovalores de la ecuación lineal asociada tiene su parte real negativa, el punto crítico será estable, ó es lo mismo que decir que la función de Morse tiene índice k=n. Por otro lado la existencia de este homeomorfismo es muy funcional al cálculo de la estabilidad, pues no requiere el estudio del sistema completo que a veces es imposible.

Dynamical systems (III)

De blog2

En esta entrega doy la definición de derivada orbital (1), que se caracteriza por estar evaluada en la órbita o flujo del sistema dinámico en el espacio de las fases. En función de esta definición se puede enunciar cuando un campo escalar es una integral primera de movimiento, muy usado en mecánica y física elemental, donde es conocida como la energía total en física o Hamiltoniano en mecánica.
El apartado 5 ya hace referencia al concepto de estabilidad de un punto crítico al relacionarlo localmente por medio de un difeomorfismo con una función de Morse de índice k. Pues el punto crítico de esta función es estable cuando k=n. Por lo que un punto crítico será estable cuando sea difeomorfo a una función de Morse de índice k=n.
Si bien este último es interesante, es inpráctico y tiene validez teórica para la definición de estabilidad de soluciones y órbitas.

Dynamical systems (II) Limit sets of a dynamic system

De blog2

En esta entrega doy un resumen sobre conjuntos límites asociados a un flujo de un sistema dinámico contínuo, esto se puede extender sin dificultad a mapas. Cabe destacar que todo conjunto omega-límite es cerrado e invariante ante el flujo.

Dynamical systems (I), basic concepts

De blog2

Un sistema dinámico a tiempo continuo o parámetro de evolución viene definido por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y una serie de condiciones iniciales dada por (1), este sistema por el teorema de existencia y unicidad existe una única solución. Pero el teorema no dice como hallar la solución, ya que no es un teorema constitutivo. La solución que satisface las condiciones iniciales se la conoce como órbita, flujo o trayectória que subyace en una variedad simpléctica. El flujo en si es un homeomorfismo entre la suma de reales y la composición de operadores uno paramétricos (2). El carácter del sistema dinámico viene dado tanto por el campo vectorial como por el flujo. Igual análisis se puede extender a los sistemas a tiempo discreto, mapas o ecuaciones en diferencias (3). Pero con la peculariedad que un mapa tiene unas propiedades adicionales que no tiene un sistema dinámico a tiempo continuo que se explicará en el futuro.
Cabe destacar que un sitema conservativo no es necesariamente hamiltoniano, pero todo sistema hamiltoniano es conservartivo.

Los siete pecados capitales del investigador científico argentino

Cuando en el mundo aparece un verdadero genio,
puede reconocérsele por este signo;
Todos los necios se conjuran contra él.

Históricamente Los Siete Pecados Capitales son una clasificación de los vicios mencionados en las primeras enseñanzas del Cristianismo y Catolicismo para educar e instruir a los seguidores sobre la moral.
El listado de los Siete Pecados Capitales en el mismo orden usado por San Gregorio Magno (*ca. 540 en Roma – †12 de marzo de 604) en el siglo VI; y después por Dante Alighieri en su obra La Divina Comedia (c.1308-1321) son: Lujuria (Luxuria) , Gula (Gula), Avaricia (Avaritia), Pereza (Acidia), Ira (Ira), Envidia (Invidia), Soberbia (Superbia). Ahora bien que tendrá que ver esto con el profesional de la ciencia? La respuesta es trivial, en él también lo malo forma parte del éxito admitido por toda la comunidad, hasta a veces admirado e envidiado por los aspirantes a ocupar sus lugares. En estos párrafos hago una adaptación a los actores de esta sociedad científica argentina e intuye una razón por la cual la ciencia argentina está como está.

1. Pereza: Un investigador exitoso será aquel que use de esclavo a sus becarios, cuanto más escale en la escala de valores del CONICET, tanto más perezoso será para investigar. Para eso están los becarios y de ellos se debe apropiar su éxito figurando como último lugar en la lista de autores para indicar a la comunidad que lo califique que él es el Director. Él ya no investiga, tan solo se dedica a conseguir subsidios a dar conferencias de temas que no le son propios y a comentar al mundo que exitoso que es.
2. Ira: Todo investigador que se preste de exitoso siente ira ante cualquier otro investigador fuera del sistema de ciencia y técnica, estorbará como pueda en su trabajo al que considere de inferior nivel, descalificando los informes que este intente presentar para pedir subsidio o intente competir con él fuera del sistema. Todo aquello está fuera del sistema es burdo y chabacano, en cambio estar dentro del sistema indica excelencia científica.
3. Envidia: Todo investigador que se preste siente envidia de otros investigadores que estén en un escalafón superior, envidia de sus pares, si ellos tiene más becarios que él, la envidia es un sentimiento que permite la perfección del sistema e impulsa a tomar como ejemplo a los que están en la categoría de investigador superior.
4. Soberbia: Un investigador formado y compenetrado con el sistema de ciencia y técnica tiene un alto grado de soberbia que muestra a sus becarios y a sus pares pero que actúa con humildad ante sus superiores para así tejer una alianza con ellos. Esta soberbia no es la del genio, sino la del mediocre, pero como la mayoría son mediocres forma parte de la subcultura de esa sociedad. Con la soberbia se disciplina por el miedo para sus becarios y la admiración para los que no lo son, pero a lo mejor, pronto serán. Se muestra más de lo que se puede ofrecer y se promete lo que no se pueda cumplir, total siempre habrá becarios, pero investigadores de excelencia, pocos.
5. Gula: Un investigador apreciado por el resto es aquel que sufre de gula, pero no por la comida, sino por conseguir más subsidios, mas esclavos investigadores. Su apetito es insaciable, nunca se conforma, va por más, teje amistades por interés y busca en ellas el provecho profesional mas que cualquier otra cosa en el mundo. Después de todo ser amigo de un premio novel es algo admirable y más admirable es trabajar en un tema que a este le atañe aunque el que trabaja es el becario, y el investigador se lleva los laureles.
6. Avaricia: La avaricia tiene un sentido lógico en una sociedad científica donde lo que falta es fondo y política científica seria. En una sociedad científica donde los investigadores crecieron en la miseria, compartir algo es perder la oportunidad de avanzar. Por eso solo se comparte conocimiento con aquel que de algo a cambio, y no mucho no vaya a ser que el otro robe nuestra inspiración y consiga más subsidios.
7. Lujuria: Este sentimiento en la sociedad de excelencia de investigadores lleva a su deshumanización. Ya no se ve a los otros como seres humanos de carne y hueso sino en objetos de uso para su propias ambiciones. Se genera un enamoramiento obsesivo de sus metas por más que no este convencido en ella, se explota a todo becario que sea necesario explotar, todo en post de una ciencia competitiva y de nivel mundial.

Mi aporte a la comunidad de redes mesh libres.

Después de mucho pensar y de lucha entre las virtudes y los pecados capitales en mi cabeza, me he decidido a dar mi aporte a la incipiente comunidad de redes mesh libres que se está formando en Rosario. Esta está liderada por la comunidad de Lugro-mesh, a la cuál yo me he asociado, y su proyecto es la creación de una red comunitaria. Para ello hay un grupo de tareas que se dedica al desarrollo del firmware Nightwing que corre en dispositivos con micros Atheros, y usa el protocoloB.A.T.M.A.N. (Better Approach To Mobile Adhoc Networking). Para tal fin he adquirido una NanoStation2 alimentada por PoE, la cual la he colocado en la terraza de mi casa como se aprecia en la figura. Mi función está limitada a reportar errores y a dar Internet de forma experimental, para que en el futuro cuando la red madure ya sea soporte de redes comunitarias (y algunas Municipales) en la ciudad de Rosario. Esta red es una alternativa de calidad al servicio mediocre prestado por las empresas privadas, como Arnet, Claro, Movistar.
Espero que este post aliente a más gente a adosarse al proyecto para que los fines altruistas sean una alternativa válida a los codiciosos proyectos de las multinacionales.

Fernando Savater: el pensar, el dudar, la Internet y la filosofía

La diferencia fundamental que hay entre el sabio oriental y un filósofo occidental es que el sabio se las arregla solo, se va un monte, medita, sufre transformaciones íntimas en soledad, y a veces, ve a su discípulo como un estorbo. En cambio el filósofo no vende conocimientos, juega con ellos, cuestiona de alguna manera el creer de los otros y crea una inquietud con respecto a lo que otros quieren saber. Uno filosofa no para salir de la duda sino para entrar en duda.
La filosofía no busca tomar todo en forma aforística, sino busca una conexión. La filosofía siempre trata de buscar una plena visión del todo como conjunto, trata de crear un marco en el que ir metiendo las cosas que salen, o sea el problema hoy no es que uno no sepa cosas, es que nos llega una cantidad desmesurada de información, por ejemplo: por Internet. Pero esa enorme masa de información a veces es cierta, a veces fundada, a veces falsa, a veces irrelevante, a veces maliciosa, a veces infundada. El problema ya no es recibir información, hoy todo el mundo tiene más información de la que pueda manejar, en problema es orientarse de manera que la información tenga un grado de utilidad, y no ahogue a la persona. Entonces la filosofía crea un marco dentro del cual se diferencia lo relevante de lo irrelevante y de alguna manera sirva de muralla contra lo absurdo, contra lo engañoso. El tamiz ó criterio sobre el cual se pasan las cosas para saber con que nos quedamos y con que no.

Fernando Savater.

La Majadita, San Juan, Argentina, entre la modernidad y la tradición

A pocos kilómetros de la ciudad de San Agustín del Valle Fertil se encuentra el poblado de la Majadita. Compuesto por 30 o 40 casas de adobe, parece un poblado detenido en el devenir de los tiempos. En él convive la modernidad de los servicios de luz eléctrica, televisión, telefonía celular con la pobreza de las casa de chapa y adobe junto a viejos artesanos del algarrobo. Entre estos viejos artensanos se encuentra Don Evaristo Elizondo (imagen superior), artesano distinguido por el Senado de la Nación en Septiembre de 2005.
Don Evaristo se lamenta de no poder mantener su tradicional arte a las nuevas generaciones, pues estas, quieren emigrar a lugares mas acordes a la modernidad actual que se ve en programas como patito feo ó casi ángeles. Pero como ocurre este fenómeno, bueno acá la modernidad sin una plantificación política causa el desplazamiento de una cultura por otra. Veamos la cronología de los hechos.
Durante más de 100 años el aislamiento tecnológico ha permitido a la Majadita sostener por generaciones su arte de manera que Don Evaristo aprendió de su padre y este de su padre, así sucesivamente. Si bien el mal de chagas y la mala atención médica hacían estragos en la población infantil, la fe de la iglesia cercana daba un toque de respuesta divina a los males que los aquejaban. Hace 10 años atrás (en 1999) llegó la electricidad como un signo de bienestar y como política de captura de votos. Con ella llegaron la Heladera, la Televisión con sus 3 canales que repetían los programas de Buenos Aires, la telefonía celular y el Internet inalámbrico y satelital (según me comentaron, en la escuela primaria local tiene acceso satelital). Todo parece bien intencionado, pero el camino del infierno está plagado de buenas intensiones, con la aparición de la televisión aparecieron programas como Patito Feo, las divinas, las populares, Tinelli, Casi Ángeles y sus vanales vidas mundanas, etc. que calaron hondo en la nueva generación de la Majadita, crearon deseos y nuevos paradigmas sociales que desplazaron los antiguo a tal punto que uno puede ver un televisor LCD, computadoras con Internet inalámbrica, en casas de chapas y adobe. Una nueva generación que piensa abandonar el pueblo, destino final de región desolada y fantasma. Otra consecuencia es: la desaparición del arte cultural del manejo del algarrobo, que aunque uno no lo crea, es el sostén de muchas de las familias del poblado con el bum turístico de excursiones a poblados autóctonos.
Este ejemplo pone de manifiesto las consecuencias de la modernidad sin una política paralela en defensa de las culturas autóctonas.

Gigantesca mancha en el polo sur de Jupiter

Desde el pasado 19 de Julio los astrónomos se encuentran intrigados al observar en Júpiter la aparición de una extraña mancha oscura en su polo sur, ya que podría tratarse de el impacto de un asteroide o un cometa. Imágenes captadas desde varios lugares del mundo confirman la aparición de la mancha, muy similar de acuerdo al astrónomo Tonny Phillips de la NASA, a la que dejo el cometa shoemaker-Levy 9 en 1994 cuando choco contra Júpiter. Una batería de telescopios de aficionados y profesionales se han dirigido al planeta Júpiter para estudiar la evolución de la mancha oscura, que según los astrónomos debe de haberse producido muy recientemente, ya que en esa zona de Júpiter, soplan poderoso vientos, que pronto barren con cualquier formación de esta naturaleza. La mancha oscura sobre el polo sur de Júpiter, es más grande que la Tierra y se produce en la atmósfera gaseosa del planeta compuesta principalmente de hidrogeno. La mancha fue descubierta por el astrónomo aficionado Anthony Wesley en Australia el 19 de Julio. El planeta
Júpite es frecuentemente golpeado por asteroides y cometas en su paso hacia el interior del sistema solar debido a su gran campo gravitacional, que desvía a estos cuerpos celestes de un posible impacto sobre planetas como la Tierra. Solo en una ocasión ha sido posible ver uno de estos impactos desde antes de que este sucediera en 1994, cuando el cometa Shoemaker-Levy 9 antes de impactarse se fragmento en mas de 10 partes que fueron estrellándose sobre el planeta una tras otra y dejando manchas muy similares a la que los astrónomos acaban de descubrir. La aparición de la misteriosa mancha sobre Jupiter se produce a pocos meses del año 2010, año en el que el recientemente fallecido Arthur C. Clarke escribió en su novela "2010, una odisea en el espacio" el surgimiento de una mancha oscura sobre este mismo planeta.

Adoradores del Totem de Ischigualasto

En el parque provincial de Ischigualasto ubicado en la provincia de San Juan como se muestra en el mapa:

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Se encuentra la geoforma del Hongo.. Un totem al cual varias personas adoran como símbolo de poder. En esta foto, tomada por una cámara oculta, se puede apreciar a un conjunto de adoradores del Hongo antes del ritual de clamor. Algunos aseguran que es una antena psíquica que conectada con una civilización paralela pero avanzada ubicada en algún lugar de la galaxia de Andrómeda sita a dos millones de años luz de la tierra.

Electromagnetic field on manifolds

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Si se considera que la teoría electromagnética se hace en una variedad de Lorentz (pseudo-Riemann), entonces partiendo del campo potencial cuadrivectorial A, el cual es una 1-forma, se puede obtener el tensor de campo (1) por el uso de la derivada exterior de Cartan, donde está unívocamente definido salvo por un campo de derivadas (salvo por el gradiente de un potencial) (2). El lagrangiano del campo teniendo en cuenta los flujos de cuadricorrinte es (3), luego usando las ecuaciones de Euler-Lagrange antes enunciadas, resulta (4) o (5) en su forma intrínseca. Por otro lado de la propiedad de la derivada exterior (6) de una 1-forma, resulta la ecuación de compatibilidad complementaria (7) que junto con (4) son las ecuaciones de movimiento del campo buscado.
El tensor de energía impulso se lo calcula usando las expresiones antes vertidas. Lo que resulta en (8) y (9) es decir un tensor asociado al campo libre del vacío sin cargas y otro asociado a la interacción entre el campo y las partículas a través de las fuerzas de Lorentz (11). Cabe notar que el campo libre verifica el teorema de Poynting del campo libre, cuando la densidad de corriente en conductores vale cero.

Killing fields (I)

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En este post comentaré lo referente a las leyes de conservación, aquí aplicado a campos, pero extensible a formas y tensores. De (1) y (2) se pide la invariancia de la acción de Hamilto-Jacobi ante un grupo de translaciones 1-paramétricas definidas por el campo vectorial, esto indica que existe un campo invariante asociado con dicha invariancia, además se verifica (3) que es una condición muy conocida y citada en varios textos como condición de conservación, pero en realidad, se sabe que existe un campo dual de Killing que permite hallar la verdadera constante de movimiento (4), que a diferencia de la dinámica de partículas, es un campo cuya derivada covariante es cero (5), es decir invariante ante el transporte paralelo en dicho grupo 1-paramétrico.
Como contra-ejemplo pongo el campo electromagnético no libre, donde la divergencia de su tensor de energía impulso es no nulo.

Covariant formulation of Lagrange

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En esta entrega comento un breve resumen sobre la formulación Lagrange covariante en una variedad métrica de Lorentz. Como se aprecia en la figura (1) es la ecuación de Euler-Lagrange para campos sobre el fibrado tangente de la variedad. Esto puede extenderse sin problema a Tensores y Formas diferenciales sobre la variedad. Cabe destacar que las incógnita ahora son los campos y lo las trayectoria de partículas. El resultado son las ecuaciones que responden los campos para cada caso en particular.
En lugar de considerar la familia 1-paramétrica de campos, se considera la familia 1-paramétrica de métricas, es posible hallar el tensor de energía impulso asociado al campo en estudio como se aprecia en (2).

Lense-Thirring effect

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Partiendo de las ecuaciones gravito-magnéticas, y bajo condiciones de campo estacionario uno puede hallar de (1,4,5,6) las ecuaciones de campo para el caso de una masa esférica apreciable que rota sobre un cierto eje con momento angular L, el campo gravito-magnético reultante es (8). De las ecuaciones de la geodésica para campos débiles resulta las ecuaciones cinemáticas asociadas a una partícula de masa mucho menor a la masa de la fuente (9), donde se ve que el término de la fuerza es muy similar a la fuerza de Lorentz, pero a diferencia de esta aparece un factor 4 que indica que no es la misma fuerza. Por eso se la llama fuerza gravito-magnética.
Este efecto causa la precesión de giróscopo en satélites que órbita la tierra en un valor de -2,2x10^(-4) segundos/día o lo que equivale a 1grado cada 16000 años. Este efecto es más importante en el caso de estrellas masivas y galaxias a distancias lo suficientemente alejadas para considerar el rango de validez de las ecuaciones gravito-magnéticas.

Notes on Manifold 11, Einstein field Equations.

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Finalmente a modo de ejemplo aplico todo esto al tensor de Einstein asociado a una variedad de Lorentz, el cual cumple con la condición de compatibilidad de divergencia nula. Esta condición también la cumple el tensor de energía e impulso del universo, que no es más que el tensor de energía impulso de la materia más el del campo electromagnético. Esto muestra que de manera indirecta un campo EM fuerte puede causar una distorsión en el espacio tiempo a pesar de ser partículas no masivas.
Por otro lado las métricas solución de (c) no son únicas sino que difieren en una isometría cuando se le aplica las condiciones de contorno correspondientes. Al final enuncio el principio de equivalencia fuerte el cual tiene su correlato débil en el ascensor de Einstein.

Notes on Manifold 10, Riemann like Manifold (II)

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En esta entrega, enuncio de manera formal el mecanismo de subida y bajada de índices a través del tensor métrico compatible con la derivada covariante. Mecanismo usado en vectores y 1-formas que se puede extender a tensores en general. Por otro lado defino lo que se entiende como divergencia de un tensor que luego la usaré en un ejemplo aplicado a la relatividad general.

Notes on Manifold 9, Ricci's tensor and metric Riemann like Manifold

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En esta entrega hago un breve resumen del tensor de Ricci y variedades métricas pseudo Riemann. Cabe notar que g.2 se refiere a un diferencial de arco de curva, donde se hace uso de los pull-fower antes definido. Por otro lado (d) nos dice que la existéncia de la conexión de Levi-Civita no solo garantiza que sea la derivada covariante simétrico o sin torsión sino que existe una carta coordenada local euclídea según el teorema de Weyl.

Notes on Manifold 8, Riemann's Tensor and Bianchi Identity

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En esta entrega muestro al famoso tensor de Riemman y las identidades de Bianchi, muy vistas en la teoría de la relatividad. Cabe destacar algo respecto a la notación; los paréntesis en los índices, (..), indica simetría de índices sumando y dividiendo por 2. En cambio [...] indica la suma cíclica de 3 índices.

Notes on Manifold 7, Covariant derivative (2)

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En esta entrega está la última parte de lo referente a derivada covariante. Cabe destacar la importancia de la misma en la caracterización de transporte paralelo en curvas. Un claro ejemplo de ello es la aceleración centrípeta. También aparece la definición de geodésica determinada por la derivada.
La definición de Kozul puede extenderse a tensores (d) r-veces contravariantes y s-veces covariantes, dentro de los cuales están las formas diferenciales como tensores una vez covariantes.

Nota: x representa el producto tensorial en el fibrado tangente.

De la definición de torsión, el cual es un tensor a diferencia de la derivada covariante que no lo es, uno puede pedir que el fibrado no tenga torsión, en tales casos la derivada covariante es simétrica y por el teorema de Weyl uno puede encontrar una carta coordenada loca donde se anule los símbolos de Cristoffel de tal manera que en dicha carta sea un espacio euclideo. Esto tiene mucha importancia en relatividad general, pues esto justifica el ascensor de Einstein y la covariancia de los sistemas no gravitantes o de Minkowsky.

Notes on Manifold 6, Covariant derivative (1)

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En esta entrega defino derivada covariante como translación paralela isomorfa, esta definición si bien es gráfica para el uso intuitivo, es inútil para su uso operacional. Por eso hago uso de la definición de Kozul que es la usada en la actualidad. Así como la derivada covariante coordenada donde para una carta local, permite definir los símbolos de Cristoffel de segunda especie y su uso no intrínseco. Por otro lado esto permite definir el concepto de espacio localmente euclídeo en una variedad.

Notes on Manifold 5, Lie's derivative and Lie bracket

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En esta entrega hago mención a la Derivada de Lie para el caso de campos escalares, vectoriales (corchetes de Poisson) y formas diferenciales. Están en notación intrínseca, para llevarlo a una carta coordenada es cuestión de aplicar lo visto en las notas anteriores o preguntarmelo.
Nota: El espacio de todos los campos vectoriales sobre M forman un espacio vectorial lineal V(M) que dotado de los corchetes de Poisson definen un álgebra de Lie.

Maxwell like Gravitomagnetic Equations

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Las ecuaciones de campo de Einstein (1) junto con la condición de compatibilidad (2), permiten deducir un conjunto de ecuaciones similares a las ecuaciones de Maxwell pero para el campo de aceleración g. Si se supone que la distorsión de la métrica de Minkowsky debido a la presencia de materia es débil. Entonces se puede hacer un desarrollo en serie de primer orden del tensor métrico (3), donde eta es la métrica de plana con signatura (+1,-1,-1,-1). En función de esto se puede escribir el tensor de Ricci (4) y la curvatura escalar (5) en función del tensor métrico h. Luego por la definición del tensor G resulta la nueva condición de compatibilidad (7), la que da sentido al nuevo tensor de campo de curvatura k. El cual satisface una ecuación que permite reemplazar la ecuación no lineal (1) por otra lineal (8) donde T es el tensor de energía impulso de la materia y la radiación. Si se define los potenciales escalare gravitatorio y vectorial garvito-magnético (9) y (10) resulta el campo de aceleración de gravedad (9') y el vector gravito-magnético (10'). En función de estos campos se puede simplificar (8) cuando no hay presencia de radiación electromagnética en las ecuaciones (11,12,13,14). Las cuales se las conoce como ecuaciones de campo gravito-magnético. Las cuales son similares a las ecuaciones de Maxwell. Salvo por el hecho que en gravedad no existe la masa negativa.

Notes on Manifold 4, Tangent bundle and CoTangent bundle

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En esta entrega defino lo que es fibrado tangente y fibrado cotangente. Además del flujo de un campo vectorial, muy usado en sistemas dinámicos, relatividad especial y general, etc.

Notes on Manifold 3, cotangent vectors at manifold

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En esta entrega defino todo lo referentente a espacio cotangente a una variedad y la definición de pull-back, para luego definir lo que se entiende por uno forma diferencial.
Nota: el punto p que se hace referencia está sobre la carta coordenada.

Notes on Manifold 2, tangent vectors at manifold

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En esta entrega sobre variedades suaves, expongo sobre lo que es el espacio tangente a una variedad en un punto, el cambio coordenado y lo más importante el diferencial de una aplicación entre variedades o pull-fower. Este tiene una representación en los espacios coordenados locales asociados a cada carta del la variedad. En el futuro esto permitirá definir los conceptos de fibrado tangente y cotangente.

Notes on Manifold 1, basic concepts

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Estas son algunas definiciones básicas sobre teoría de variedades, hay que destacar que no existe un único atlas maximal en una variedad como se enuncia en (g). En general las variedades usadas en la teoría de la relatividad, espacio de las fases, etc. todas tiene un único atlas maximal. Y cumplen la condición impuesta o natural de ser suaves.

Magnetic field tensor and Maxwell's equations

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El vector inducción magnética B en si no es un vector sino un pseudo vector, de carácter similar al momento angular, el torque, etc. Este puede provenir de un tensor antisimétrico contraídos los índices usando el tensor de Levi-Civita (2). Donde se hecho uso de la convención de índices repetidos se suman de Einstein. Idéntica situación se puede formular para H, la intensidad de campo magnético. En función de esto se puede volver a escribir las ecuaciones de Maxwell que contemplen el carácter tensorial de los campos (3,4,5,6). Luego se puede simplificar la notación de la ecuación (6) a (7). Muy usada en relatividad. Esta forma de escribir las ecuaciones de Maxwell permite reducir el número de pasos para escribirlas en función del Tensor de Faraday covariante y su dual de campo.